N° 4 problemi Trigonometria applicata ai Triangoli
Salve a tutti,
è da molto che non frequento più il forum e ora purtroppo mi trovo in difficoltà.
La mia prof non la capisco e i problemi in classe non vengono anche lei (quindi vi lascio immaginare). Ho bisogno del vostro aiuto.
So che 4 problemi sono pesanti ma ne ho troppo bisogno.
Inizio col problema numero 1:
(il disegno l'ho fatto)
Costruita esternamente al triangolo equilatero ABC la semicironferenza di diametro BC, condurre la corda PQ = (1/2)BC parallela a BC e calcolare il coseno dell'angolo PAQ.
RISULTATO : cosPAQ = 13/14
problema numero 2:
(disegno fatto)
Dato il triangolo rettangolo ABC nel quale l'ipotenusa BC = 10l(c'è scritto dieci elle) e cosACB = 3/5, costruire esternamente a esso il triangolo isoscele BCD avente base BC e lati CD=BD= 13l (tredici elle) e calcolare la lunghezza del segmento AD.
RISULTATO : AD = 7[rad(29/5)]l (elle)
problema numero 3:
Dato il rombo ABCD le cui diagonali AC e BD misurano rispettivamente 2a[rad(3)] e 2a, determinare sulla diagonale BD un punto P in modo che risulti AP + PD = kOT
essendo OT il raggio del cerchio inscritto nel rombo
RISULTATO : 1 sol. per k appartente [(4[rad(3)])/3; (8[rad(3)])/3]
Problema numero 4:
Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, costruire il triangolo isoscele ABC di base AB, situato da parte opposta alla semicirconferenza rispetto alla retta AB e tale che cosACB = -(3/5). Dopo aver determinato gli elementi incogniti del triangolo, condurre per O una retta che incontri il lato AC in M e la semicirconferenza in N in modo che risulti: (MN/AB) = k con k appartenente ad R positivo escluso zero
RISULTATI : 2 sol. per k appartente [ (5+[rad(5)])/5; 3/4]; 1 sol. per k appartente ]9/5; (3[rad(10)])/5]
Se è necessario posso provare a fare la fotocopia delle pagine. Spero capiate lo stesso ^^
Vi ringrazio moltissimo.
è da molto che non frequento più il forum e ora purtroppo mi trovo in difficoltà.
La mia prof non la capisco e i problemi in classe non vengono anche lei (quindi vi lascio immaginare). Ho bisogno del vostro aiuto.
So che 4 problemi sono pesanti ma ne ho troppo bisogno.
Inizio col problema numero 1:
(il disegno l'ho fatto)
Costruita esternamente al triangolo equilatero ABC la semicironferenza di diametro BC, condurre la corda PQ = (1/2)BC parallela a BC e calcolare il coseno dell'angolo PAQ.
RISULTATO : cosPAQ = 13/14
problema numero 2:
(disegno fatto)
Dato il triangolo rettangolo ABC nel quale l'ipotenusa BC = 10l(c'è scritto dieci elle) e cosACB = 3/5, costruire esternamente a esso il triangolo isoscele BCD avente base BC e lati CD=BD= 13l (tredici elle) e calcolare la lunghezza del segmento AD.
RISULTATO : AD = 7[rad(29/5)]l (elle)
problema numero 3:
Dato il rombo ABCD le cui diagonali AC e BD misurano rispettivamente 2a[rad(3)] e 2a, determinare sulla diagonale BD un punto P in modo che risulti AP + PD = kOT
essendo OT il raggio del cerchio inscritto nel rombo
RISULTATO : 1 sol. per k appartente [(4[rad(3)])/3; (8[rad(3)])/3]
Problema numero 4:
Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, costruire il triangolo isoscele ABC di base AB, situato da parte opposta alla semicirconferenza rispetto alla retta AB e tale che cosACB = -(3/5). Dopo aver determinato gli elementi incogniti del triangolo, condurre per O una retta che incontri il lato AC in M e la semicirconferenza in N in modo che risulti: (MN/AB) = k con k appartenente ad R positivo escluso zero
RISULTATI : 2 sol. per k appartente [ (5+[rad(5)])/5; 3/4]; 1 sol. per k appartente ]9/5; (3[rad(10)])/5]
Se è necessario posso provare a fare la fotocopia delle pagine. Spero capiate lo stesso ^^
Vi ringrazio moltissimo.
Risposte
Ciao...
Ora mi dedico a te
Tieni conto che 4 problemi non sono pochi.
Comunque faccio il possibile :)
Aggiunto 29 minuti più tardi:
Iniziamo dalle considerazioni sulla figura:
la semicirconferenza ha diametro pari al lato del triangolo equilatero.
Tracciata la perpendicolare ad un diametro nel suo punto medio (centro) tutte le parallele al diametro scelto sono divise in due meta' daquesta perpendicolare.
Pertanto prosegui l'altezza AH del triangolo equilatero. Essa dividera' in due meta' il semicerchio e pertanto dividera' in due il segmento PQ.
Chiamo per comodita' il lato del triangolo equilatero 4l.
Ovviamente puoi chiamarlo l se preferisci, ma lo faccio per evitare le frazioni ;)
L'altezza AH (prolungata) divide la base BC in due segmenti congruenti 2l e il segmento PQ in due segmenti congruenti.
E siccome PQ e' meta' di BC (quindi 2l) il segmento AH prolungato lo divide in due segmenti PO e QO pari a l.
(chiamo O il punto di intersezione di AH prolungata con PQ)
Considera ora il triangolo QHO. Esso e' rettangolo (AH e' perpendicolare a BC e pertanto anche a PQ in quanto sua parallela) e ha un cateto (OQ) = l e l'ipotenusa pari al raggio della semicirconferenza (2l)
Con Pitagora ricaviamo HO =
Ricordando che l'altezza di un triangolo equilatero e'
Pertanto OA=
Calcoliamo ora con Pitagora il lato AP, di ipotenusa
Essa sara'
Sappiamo che il coseno in un triangolo rettangolo (nella specie AOQ) e' il rapporto tra cateto adiacente (AO) e ipotenusa (AQ)
Il rapporto sara'
Abbiamo il coseno di OAQ.
Siccome il triangolo PQA ha come altezza AO che divide in due segmenti congruenti la base, il triangolo e' isoscele, e pertanto l'angolo PAQ e' doppio rispetto a OAQ (l'altezza e' bisettrice)
Per le formule di duplicazione:
E quindi
Fai i conti e trovi il coseno ;)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
Per il secondo.. Avete fatto Carnot?
Aggiunto 22 minuti più tardi:
Prova tu il secondo. Ti do due dritte:
Triangolo ABC: ipotenusa 10l
Coseno C 3/5
AC=ipotenusa x coseno di C = 6l
Triangolo CDB isoscele, quindi l'altezza divide in due metà la base (BC) quindi detto H il piede dell'altezza, CH=5l. Inoltre divide in due triangoli rettangoli, quindi
CD=13 l
CH= 5 l
Puoi trovare il coseno dell'angolo compreso.
A quel punto, trovi coseno di ACB+HCD con le formule di addizione.
Infine consideri ADC di cui conosci AC e CD e il coseno dell'angolo compreso.
Con Carnot trovi AD :)
prova e dimmi se viene ;)
Aggiunto 1 ore 34 minuti più tardi:
perche' dici che sbagli?
il coseno e' negativo se l'angolo e' maggiore di 90 gradi, cosa del tutto possibile
Aggiunto 7 minuti più tardi:
E infatti viene!
Bravissimo!!!
Dai trova AD con Carnot
L'ultimo addendo viene con il +.... e tutto ha l^2
Aggiunto 12 minuti più tardi:
ti do la traccia del terzo allora
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Scusami devi risolverli con la trigonometria, sempre???
Aggiunto 8 minuti più tardi:
ok lo rifaccio allora
L'ho risolto in altra maniera :(
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Guarda sono cotto...
Se ti occorrono domani ti posto gli altri due :)
Ora mi dedico a te
Tieni conto che 4 problemi non sono pochi.
Comunque faccio il possibile :)
Aggiunto 29 minuti più tardi:
Iniziamo dalle considerazioni sulla figura:
la semicirconferenza ha diametro pari al lato del triangolo equilatero.
Tracciata la perpendicolare ad un diametro nel suo punto medio (centro) tutte le parallele al diametro scelto sono divise in due meta' daquesta perpendicolare.
Pertanto prosegui l'altezza AH del triangolo equilatero. Essa dividera' in due meta' il semicerchio e pertanto dividera' in due il segmento PQ.
Chiamo per comodita' il lato del triangolo equilatero 4l.
Ovviamente puoi chiamarlo l se preferisci, ma lo faccio per evitare le frazioni ;)
L'altezza AH (prolungata) divide la base BC in due segmenti congruenti 2l e il segmento PQ in due segmenti congruenti.
E siccome PQ e' meta' di BC (quindi 2l) il segmento AH prolungato lo divide in due segmenti PO e QO pari a l.
(chiamo O il punto di intersezione di AH prolungata con PQ)
Considera ora il triangolo QHO. Esso e' rettangolo (AH e' perpendicolare a BC e pertanto anche a PQ in quanto sua parallela) e ha un cateto (OQ) = l e l'ipotenusa pari al raggio della semicirconferenza (2l)
Con Pitagora ricaviamo HO =
[math]l \sqrt3 [/math]
Ricordando che l'altezza di un triangolo equilatero e'
[math] \frac{l}{2} \sqrt3 [/math]
(ma puoi comunque ricalcolarla se non la ricordi) nel nostro caso (lato=4l) l'altezza sara' [math] 2l \sqrt3 [/math]
Pertanto OA=
[math]l \sqrt3 + 2l \sqrt3 = 3 l \sqrt3 [/math]
Calcoliamo ora con Pitagora il lato AP, di ipotenusa
[math] 3l \sqrt3 [/math]
e cateto noto [math] l [/math]
Essa sara'
[math] l \sqrt{28} = 2l \sqrt7 [/math]
ho razionalizzato.Sappiamo che il coseno in un triangolo rettangolo (nella specie AOQ) e' il rapporto tra cateto adiacente (AO) e ipotenusa (AQ)
Il rapporto sara'
[math] \frac{3 \no{l} \sqrt3}{2 \no{l} \sqrt7 [/math]
Abbiamo il coseno di OAQ.
Siccome il triangolo PQA ha come altezza AO che divide in due segmenti congruenti la base, il triangolo e' isoscele, e pertanto l'angolo PAQ e' doppio rispetto a OAQ (l'altezza e' bisettrice)
Per le formule di duplicazione:
[math] \cos (2x)= 2 \cos^2 x - 1 [/math]
E quindi
[math] \cos (2(O\hat{A}Q)) ) = 2 \( \frac{3 \sqrt3}{2 \sqrt7} \)^2-1 [/math]
Fai i conti e trovi il coseno ;)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
Per il secondo.. Avete fatto Carnot?
Aggiunto 22 minuti più tardi:
Prova tu il secondo. Ti do due dritte:
Triangolo ABC: ipotenusa 10l
Coseno C 3/5
AC=ipotenusa x coseno di C = 6l
Triangolo CDB isoscele, quindi l'altezza divide in due metà la base (BC) quindi detto H il piede dell'altezza, CH=5l. Inoltre divide in due triangoli rettangoli, quindi
CD=13 l
CH= 5 l
Puoi trovare il coseno dell'angolo compreso.
A quel punto, trovi coseno di ACB+HCD con le formule di addizione.
Infine consideri ADC di cui conosci AC e CD e il coseno dell'angolo compreso.
Con Carnot trovi AD :)
prova e dimmi se viene ;)
Aggiunto 1 ore 34 minuti più tardi:
perche' dici che sbagli?
il coseno e' negativo se l'angolo e' maggiore di 90 gradi, cosa del tutto possibile
Aggiunto 7 minuti più tardi:
E infatti viene!
Bravissimo!!!
Dai trova AD con Carnot
[math] \bar{AD}= \sqrt{36l^2+169l^2-2 \cdot 6l \cdot 13l \cdot \( - \frac{33}{64} \)} [/math]
L'ultimo addendo viene con il +.... e tutto ha l^2
Aggiunto 12 minuti più tardi:
ti do la traccia del terzo allora
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Scusami devi risolverli con la trigonometria, sempre???
Aggiunto 8 minuti più tardi:
ok lo rifaccio allora
L'ho risolto in altra maniera :(
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Guarda sono cotto...
Se ti occorrono domani ti posto gli altri due :)
Ti ringrazio tanto e so che non sono pochi ma ne ho davvero bisogno. Già l'anno scorso mi hai aiutato con la fisica e la matematica e sono riuscito a passare col 7 in entrambe le materie xD Spero di capire questi dannati problemi altrimenti domani sono costretto a saltare il compito. (In realtà i problemi sarebbero 7 ma 3 li ho levati perchè sennò avrei chiesto davvero troppo ^^). Se già riesco a fare questo genere di problemi il 5-6 dovrei prenderlo.
sisi l'abbiamo fatto.
Cmq il primo perfetto, mi è venuto e l'ho anche capito anche se io da solo non ci sarei mai potuto arrivare ^^
il secondo problema non mi viene. allora arrivo arrivo al coseno di HCD che è 5/13 e da qui ricavo il sen = 12/13
quindi procedo con la formula di duplicazione ( e mi sa che forse sbaglio io qui) facendo cos(HCD+ACH) = cosHCDxcosACH - senHCDxsenACH e mi viene = -(33/65)
dove sbaglio?
non capisco perchè ti viene -(33/64)... a me il coseno ACD con la duplicazione viene cosACD = )5/13) x (3/5) - )12/13) x (4/5) = -(33/65)
può essere che ho sbagliato il senACB? ma se il cosACB = 3/5 il senACB è 4/5 o sbaglio? qualcosa non mi quadra xD
ahaha oddio sono troppo stupido (non riuscivo a semplificare xD). E' venuto giusto!!! E anche questo problema è risolto :P
sisi non vuole che si usano altre cose. sempre formule trigonometriche (teorema corda, seni, coseno, proiezioni...)
mi dispiace =(
ok tranquillo ^^ grazie mille per tutto quello che hai fatto. Troppo gentile =)
Buonasera BIT5, possiamo riprendere coi problemi? sicuramente la prof mi farà recuperare il compito martedì o giovedì prossimo. Oltre questi problemi durante il corso della settimana dovrò provarne a fare alcuni di altro tipo. Intanto puoi darmi le tracce di questi due? grazie mille ^^
sisi l'abbiamo fatto.
Cmq il primo perfetto, mi è venuto e l'ho anche capito anche se io da solo non ci sarei mai potuto arrivare ^^
il secondo problema non mi viene. allora arrivo arrivo al coseno di HCD che è 5/13 e da qui ricavo il sen = 12/13
quindi procedo con la formula di duplicazione ( e mi sa che forse sbaglio io qui) facendo cos(HCD+ACH) = cosHCDxcosACH - senHCDxsenACH e mi viene = -(33/65)
dove sbaglio?
non capisco perchè ti viene -(33/64)... a me il coseno ACD con la duplicazione viene cosACD = )5/13) x (3/5) - )12/13) x (4/5) = -(33/65)
può essere che ho sbagliato il senACB? ma se il cosACB = 3/5 il senACB è 4/5 o sbaglio? qualcosa non mi quadra xD
ahaha oddio sono troppo stupido (non riuscivo a semplificare xD). E' venuto giusto!!! E anche questo problema è risolto :P
sisi non vuole che si usano altre cose. sempre formule trigonometriche (teorema corda, seni, coseno, proiezioni...)
mi dispiace =(
ok tranquillo ^^ grazie mille per tutto quello che hai fatto. Troppo gentile =)
Buonasera BIT5, possiamo riprendere coi problemi? sicuramente la prof mi farà recuperare il compito martedì o giovedì prossimo. Oltre questi problemi durante il corso della settimana dovrò provarne a fare alcuni di altro tipo. Intanto puoi darmi le tracce di questi due? grazie mille ^^
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