Modulo equazioni logaritmiche
Ciao a tutti, ho un dubbio su come risolvere un'equazione logaritmica con il modulo, il testo è questo:
$ log ( 3x-1 )^4 = 4 log |3x-1| $
il primo termine diventa $ 4 log (3x-1) $ quindi si avrà:
$ 4 log (3x-1) $= $ 4 log |3x-1| $
e ora?
devo fare $ (3x-1)= |3x-1|$
per $x≥1/3$ $ 3x-1=3x-1 $e per $ x<1/3$ $3x-1=-3x-1 $
?
grazie in anticipo
$ log ( 3x-1 )^4 = 4 log |3x-1| $
il primo termine diventa $ 4 log (3x-1) $ quindi si avrà:
$ 4 log (3x-1) $= $ 4 log |3x-1| $
e ora?
devo fare $ (3x-1)= |3x-1|$
per $x≥1/3$ $ 3x-1=3x-1 $e per $ x<1/3$ $3x-1=-3x-1 $
?
grazie in anticipo
Risposte
No, non è vero che $log[(3x-1)^4]$ equivale a $4*log(3x-1)$
Infatti, prendendo ad esempio $x=0$, hai che
il primo vale $log[(-1)^4]$, cioè $log1=0$
il secondo vale $4*log(-1)$ che addirittura non è definito
In generale, la proprietà corretta è la seguente:
qualunque sia $a$ reale, sicuramente $a^n$ è maggiore o uguale a $0$ (perchè $n$ è un numero pari);
se "porti fuori" $n$ non hai più la garanzia che $a$ sia positivo. Ecco perchè devi metterci il valore assoluto.
Nel nostro caso abbiamo $a=3x-1$ e $n=2$
Io ho scelto $x=0$ così in questo modo $a $ diventa negativo, mettendo in luce il problema
Infatti, prendendo ad esempio $x=0$, hai che
il primo vale $log[(-1)^4]$, cioè $log1=0$
il secondo vale $4*log(-1)$ che addirittura non è definito
In generale, la proprietà corretta è la seguente:
"Proprietà dei logaritmi":Il motivo è il seguente:
se $n$ è un numero pari positivo e $a in RR$, si ha che $log(a^n)=n*log|a|$
qualunque sia $a$ reale, sicuramente $a^n$ è maggiore o uguale a $0$ (perchè $n$ è un numero pari);
se "porti fuori" $n$ non hai più la garanzia che $a$ sia positivo. Ecco perchè devi metterci il valore assoluto.
Nel nostro caso abbiamo $a=3x-1$ e $n=2$
Io ho scelto $x=0$ così in questo modo $a $ diventa negativo, mettendo in luce il problema
"Gi8":Il motivo è il seguente:
No, non è vero che $log[(3x-1)^4]$ equivale a $4*log(3x-1)$
Infatti, prendendo ad esempio $x=0$, hai che
il primo vale $log[(-1)^4]$, cioè $log1=0$
il secondo vale $4*log(-1)$ che addirittura non è definito
In generale, la proprietà corretta è la seguente: [quote="Proprietà dei logaritmi"]se $n$ è un numero pari positivo e $a in RR$, si ha che $log(a^n)=n*log|a|$
qualunque sia $a$ reale, sicuramente $a^n$ è maggiore o uguale a $0$ (perchè $n$ è un numero pari);
se "porti fuori" $n$ non hai più la garanzia che $a$ sia positivo. Ecco perchè devi metterci il valore assoluto.
Nel nostro caso abbiamo $a=3x-1$ e $n=2$
Io ho scelto $x=0$ così in questo modo $a $ diventa negativo, mettendo in luce il problema[/quote]
io tra le proprietà dei logaritmi ho trovato scritto:
Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero
è sbagliata la regola?
"pippo99":Questo è vero se e solo se il numero è positivo, come puoi ben immaginare.
Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero
Se il numero (chiamiamolo $x$) fosse negativo si avrebbe $k*logx$, ma il logaritmo di un numero negativo non è definito sui reali
Non è sbagliata, hai solo omesso di leggere le condizioni di applicabilità: l'argomento del logaritmo non deve cambiare segno.
Quindi $log(3x-1)^4=4*log|3x-1|$
Quindi $log(3x-1)^4=4*log|3x-1|$
"Gi8":Questo è vero se e solo se il numero è positivo, come puoi ben immaginare.
[quote="pippo99"]Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero
Se il numero (chiamiamolo $x$) fosse negativo si avrebbe $k*logx$, ma il logaritmo di un numero negativo non è definito sui reali[/quote]
ah capito grazie
quindi tornato all'esercizio verrebbe
$4log|3x−1|$=$4log|3x−1|$
giusto?
quindi è definito per ogni x appartenente a RR essendoci il modulo o devo fare altri passaggi?
Non proprio: è definito per ogni $x$ appartenente al dominio.
Hai scritto le condizioni di esistenza? (ho dimenticato di chiedertelo prima)
Hai scritto le condizioni di esistenza? (ho dimenticato di chiedertelo prima)
D=x>1/3?
Eh, no.
Scrivi le disequazioni da risolvere
Scrivi le disequazioni da risolvere
$D=RR-(1/3)$ perchè 3x-1 è alla quarta e si annulla solo con 1/3?
Esatto 
Quindi la soluzione finale è $x!= 1/3$
Quindi la soluzione finale è $x!= 1/3$
grazie mille per l'aiuto
approfitto per fare un'altra domanda
ho un esercizio con il testo
$ log sqrt(x-3)$ = $1/2 log (3x-4)$
D=x>3
quindi $ log sqrt(x-3)$ = $ log sqrt(3x-4)$
$sqrt (x-3)= sqrt (3x-4)$
fin qui è giusto?
poi come si prosegue? elevo al quadrato e risolvo x-3=3x-4? Facendo in questo modo viene x=1/2 quindi non accettabile
ho un esercizio con il testo
$ log sqrt(x-3)$ = $1/2 log (3x-4)$
D=x>3
quindi $ log sqrt(x-3)$ = $ log sqrt(3x-4)$
$sqrt (x-3)= sqrt (3x-4)$
fin qui è giusto?
poi come si prosegue? elevo al quadrato e risolvo x-3=3x-4? Facendo in questo modo viene x=1/2 quindi non accettabile
$x > 3 $ per il primo logaritmo, e per il secondo?
"@melia":
$x > 3 $ per il primo logaritmo, e per il secondo?
per il secondo $x>4/3$ quindi il dominio dell'equazione non è $x>3$?
giusto, e giusto anche il resto.
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