Moduli i valori assoluti

[Nidaem]

$|x-4|=|3x-1|$

$x\geq4$

$x\geq1/3$

arrivato qua, faccio la linea dei numeri. Prima metto il numero $1/3$ e dopo $4$, ma dopo non so continuare. Vi chiedo di aiutarmi a svolgere questo esercizio e se avete tempo a spiegarmi come si fa. Grazie a tutti per la vostra cortese attenzione.

[giammaria2]

La linea ti serve solo per vedere che ci sono tre zone: quella prima di $1/3$ in cui entrambi i binomi sono negativi, quella successiva, in cui il primo binomio è negativo e il secondo positivo e l'ultima in cui sono entrambi positivi. Per ognuna di queste zone, il ragionamento è il seguente: so il segno, quindi posso calcolare il valore assoluto (ricorda che il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso; quello di un numero negativo è il numero cambiato di segno) e di conseguenza risolvere l'equazione; la soluzione è accettabile se cade nell'intervallo che sto considerando.
Prova a farlo, così vedi se hai capito.

[Nidaem]

Si ok, grazie. Ma gianmaria mi devi chiarire questi punti: 1) se nella prima zona ho due linee tratteggite, il segno è meno o più? Poi se è meno cambio i segni a tutti e due o solo a uno o nessuno? Se è più cambio i segni? 2) se nella zona centrale c'è una linea tratteggiata e una intera, il segno è più o meno? Se è più cambio i segni a tutti e due o a tutti o a uno solo? Se è meno cambio i segni a tutti e due o a tutti o a uno solo? 3) se ho due linee intere cambio i segni? Se mi rispondi a queste domande mi risolveresti un sacco di problemi. Grazie mille per la tua cortese attenzione.

[giammaria2]

Non vuoi fare il prodotto o la divisione, quindi non applichi la regola dei segni e non ti chiedi qual'è il segno complessivo. A fianco ad ogni riga, scrivi a cosa si riferisce quella riga; ad esempio, vicino alla seconda scriverai $3x-1>0$. Nella seconda zona (mi limito a questa) trovi tratteggiata la linea di $x-4>0$: questo vuol dire che $x-4$ è negativo e devi cambiare il suo segno. Trovi invece continua l'altra riga: il corrispondente polinomio è positivo e non gli cambi il segno. Nelle altre zone fai ragionamenti analoghi.

[dreamager]

Non vorrei sbagliarmi, ma dovresti poter anche quadrare l'equazione e risolverla senza dover imporre alcuna condizione di esistenza.

[giammaria2]

@dreamager: non sbagli, e poichè l'equazione è di primo grado, quello è il metodo più rapido. Supponi però che un valore assoluto avesse contenuto un polinomio di secondo grado: elevando a quadrato avresti ottenuto un'equazione di quarto grado, probabilmente difficile da risolvere. Non è male imparare a cavarsela anche senza elevare.
Attento all'uso delle parole: non ci sono condizioni di esistenza.

[giammaria2]

Ho scritto che elevare a quadrato era il metodo più rapido, ma rettifico: ce n'è uno ancora migliore. Due numeri hanno lo stesso valore assoluto se e solo se sono uguali o contrari, quindi l'equazione data equivale a
$(x-4=3x-1)uu(x-4=-3x+1)$
e la conclusione è immediata. Questo metodo ha l'ulteriore pregio di andar bene anche con equazioni di secondo grado.

[Nidaem]

Grazie mille gianmaria, ora ho capito tutto e sono riuscito a fare gli altri esercizi che avevo per compito. Però ho un'ultimissima domanda da farti: perchè in questo modulo $|x-3|+x=3$ risulta $xleq3$?

[giammaria2]

Anche qui devi distinguere i due casi, a seconda che x sia maggiore o minore di 3.

I caso: $x<=3$) $-x+3+x=3->0=0$ identità, quindi è vero per ogni $x$ di questo intervallo (è la soluzione del libro)

II caso: $x>3$) $x-3+x=3->2x=6->x=3$ non accettabile perchè fuori dall'intervallo che stiamo esaminando.