Minimo comune multiplo

[Principe2]

dimostrare l'esistenza e l'unicità del minimo comune multiplo

sugg: utilizzare il MCD

[Maverick2]

beh, dati i numeri a b c... il numero a*b*c... è sicuramente un "comune multiplo".
così abbiamo dimostrato che ne esiste almeno uno e quindi ha senso cercarne il minimo.
se esistessero due minimi comune multipli p e q è chiaro che devono essere uguali perchè se non lo fossero scarto il più grande.
questa dimostrazione è più rigorosa di quanto sembra....

[Principe2]

effettivamente è vero... complimenti per la sveltezza e per la brevità..

[Sk_Anonymous]

MI permetto di dissentire un tantino
da quello che dice Maverick.Egli in effetti
dimostra solo l'unicita' del m.c.m. (supposto
esistente) ma non la sua effettiva esistenza.
Questa si base su due teoremi di Teoria dei Numeri
che recitano cosi':
1)Ogni parte finita A di N (non vuota) ammette
un elemento piu' piccolo ed un elemento piu' grande.
2)Ogni parte infinita P di N ammette un elemento piu' piccolo.
Questi enunciato,che dal punto di vista intuitivo
appaiono superscontati,dal punto di vista teorico
hanno una loro breve ma rigorosa dimostrazione.
karl.

[Maverick2]

in effetti è vero, ma se non possiamo dare per scontati nemmeno questi allora ogni dimostrazione dovrebbe partire dagli assiomi di peano e dai postulati di euclide, senza contare che bisognerebbe molto spesso cominciare le dimostrazioni dicendo "supponiamo vero l'assioma di scelta..."

[Principe2]

forse ha ragione karl.. si tratta di una sottigliezza logica, ma spesso si pagano care tali sottigliezze..do la mia dimostrazione:

siano a,b due interi. diciamo che h>=1 è mcm(a,b) se:

1) a e b dividono h; da ora in poi indicato con a,b|h
2) se a,b|h' allora h|h'

dimostrazione dell'esistenza:
siano a,b in Z tali che a = p(1)^h(1) *...*p(s)^h(s) e
b = p(1)^k(1)*...*p(s)^h(s), h(i),k(i)>=0; allora h = mcm(a,b) = p(1)^D(1)*...*p(s)^D(s), D(i) = max(h(i),k(i))

a,b|h sicuramente; dimostriamo che vale anche la seconda condizione:
sia h' t.c. a,b|h', allora h'=at=bm, per opportuni t ed m;
siano f(a) e f(b) le fattorizzazioni di a e b, sicuramente esistenti per il th fond dell'aritmentica,
quindi h'=f(a)*t=f(b)m; segue che h' ammette come fattore h, quindi h|h'.

l'unicità, come ho suggerito deriva dalla formula, |ab|=MCD(a,b)mcm(a,b); abbiamo visto (cfr il mio topic "massimo comun divisore") che l'MCD esiste sempre ed è unico, ne consegue che mcm è unico.

nota: per chi volesse leggere la dimostrazione sul MCD, si renderà conto che lo sforzo grosso (quello a cui accennava Karl col primcipio del minimo) è stato fatto lì.

ciao, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Per Maverick.
Non ti do'torto :a furia di voler (o dover)
dimostrare tutto si finisce coll' arrivare
al BIG-BANG!
Tutta colpa della deformazione (quasi) professionale.
Ciao.
karl.