Mi spiegate come si risolve questa derivata?

[loddo]

y = radice quinta di (x-3x^3)


risultato y= 1/(5*radice quinta x^4) - 9x^2

[issima90]

[math]y=\sqrt[5]{x-3^x3}[/math]

[math]y'=\frac{1-9x^2}{5\sqrt[5]{(x-3x^3)^4}[/math]

[BIT5]

Quando devi calcolare la derivata prima di una funzione, per prima cosa devi capire se la funzione è una funzione semplice o una funzione di funzione.
Nel tuo caso, abbiamo una funzione che è la radice quinta ed una seconda funzione che è il binomio che sta sotto la radice (il radicando).
Quindi avremo f(x)=radicequinta di g(x)
g(x)= x-3x^3.
La derivata di una "funzione di funzione" è data dalla derivata prima della funzione "più esterna" * la derivata prima delle funzioni via via più interne (Nel nostro caso f'(g(x))* g'(x).
La derivata prima della funzione radice è una frazione che ha 1 al numeratore, mentre al denominatore ha l'indice della radice (nel tuo caso 5) * la radice con lo stesso indice dell'argomento elevato all'indice-1 ovvero nel tuo caso radice quinta dell'argomento elevato alla quarta (5-1).
In questo caso, però, anche l'argomento è una funzione (e quindi si parla di derivata di "funzione di funzione" ). Quindi una volta derivata la radice, dovrai moltiplicare il risultato per la derivata dell'argomento (in questo caso del radicando).
L'argomento è un binomio (ovvero somma di monomi). La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate.
La derivata di x è 1
La derivata di -3x^3 è -9x^2.
Pertanto la derivata finale è quella proposta dal problema.
Se non riesci a ricordare la derivata di una radice a memoria, puoi sempre provare a rappresentare la radice come un esponente fratto.
Pertanto, ad esempio, la radice cubica di x può essere scritta come x^(1/3).
Da qui, puoi applicare la regola della derivata di un elevamento a potenza, che si fa "portando"l'esponente davanti alla x e riducendo di 1 l'esponente.
Quindi, come la derivata di x^3 = 3x^(3-1) ==> 3x^2, la derivata di x^(1/3) sarà
1/3x^((1/3)-1) ==> 1/3x^((1-3)/3) ==> 1/3x^(-2/3).
Ricordiamo che elevare ad un numero negativo significa elevare il reciproco ad un numero positivo (ovvero x^-2 = 1/(x^2)).
Quindi 1/3x^(-2/3) vuol dire 1/3*radice cubica di 1/x^2 ==> 1/(3*radicecubica di x^2).
Spero di esserti stato d'aiuto, sono nuovo e non so ancora usare il programma per scrivere gli operatori matematici..