Mi spiegate come si ricavano le formule sulla parabola?
La mia prof. è venuta ieri ed ha disegnato una parabola parallela all'asse y scrivendo le formule per trovare fuoco, direttrice, vertice e asse ma senza spiegarle (e non ha intenzione di farlo, non ha mai spiegato nessuna formula, io le ho sempre dovute cercare sul libro, a lei non importa se le capiamo, le basta che impariamo le tipologie di problemi che ci sono e sappiamo ogni volta quali formule usare, solo che a me non piace imparare quelle formule senza capirle). Sul libro non sono riuscito a capirle, anche perché parlava di traslazione degli assi e altro che non ho fatto. L'unica che sono riuscito a capire è quella del vertice (ragionando sul fatto dell'ordinata massima/minima). Scrivo la dimostrazione per chiedere se è sensata:
Presa la retta $y=-x^2+2x+5$ e scritta nella formula: $-x^2+2x+5-y=0$ e cambiatala in $x^2-2x-5+y=0$ [size=59](questa è una fissa che ho dall'anno scorso, la formula quadratica si può applicare lo stesso con il coefficiente del termine alla seconda negativo? Io sto sempre a cambiarlo)[/size]
$a=1, b=-2, c=-5+y$
Perché l'eq. abbia soluzioni, $Δ ≥ 0$.
$(-2)^2-(4)(1)(-5+y)≥0$
$4+20-4y≥0$
$6-y≥0$
$y≤6$
Dato che la retta volge la concavità verso il semiasse delle ordinate negative (si dice così?) il vertice è l'ordinata massima, e quindi y=6.
Oltre a questo volevo chiedere se c'era una spiegazione per le altre formule.
Presa la retta $y=-x^2+2x+5$ e scritta nella formula: $-x^2+2x+5-y=0$ e cambiatala in $x^2-2x-5+y=0$ [size=59](questa è una fissa che ho dall'anno scorso, la formula quadratica si può applicare lo stesso con il coefficiente del termine alla seconda negativo? Io sto sempre a cambiarlo)[/size]
$a=1, b=-2, c=-5+y$
Perché l'eq. abbia soluzioni, $Δ ≥ 0$.
$(-2)^2-(4)(1)(-5+y)≥0$
$4+20-4y≥0$
$6-y≥0$
$y≤6$
Dato che la retta volge la concavità verso il semiasse delle ordinate negative (si dice così?) il vertice è l'ordinata massima, e quindi y=6.
Oltre a questo volevo chiedere se c'era una spiegazione per le altre formule.
Risposte
"dreamager":
$-x^2+2x+5-y=0$ e cambiatala in $x^2-2x-5+y=0$ (questa è una fissa che ho dall'anno scorso, la formula quadratica si può applicare lo stesso con il coefficiente del termine alla seconda negativo? Io sto sempre a cambiarlo)
Sì certo che la formula per trovare le radici di una equazione quadratica funziona anche col coeffieciente della $x^2$ negativo. E cmq basta che provi!
Dato che la retta volge la concavità verso il semiasse delle ordinate negative (si dice così?)
Ecco una svista. E' una parabola non una retta
Oltre a questo volevo chiedere se c'era una spiegazione per le altre formule.
una spiegazione c'è sempre e a volte l'ho cercata anch'io tramite intuizioni, ma non l'ho mai trovata.
Cmq complimenti, approfondire i concetti è sempre un'ottima cosa!
"scrittore":
Oltre a questo volevo chiedere se c'era una spiegazione per le altre formule.
una spiegazione c'è sempre e a volte l'ho cercata anch'io tramite intuizioni, ma non l'ho mai trovata.
Non le spiegano neanche all'università queste cose?
io ho studiato informatica all'università (dove c'è il corso di analisi).
Le formule in genere le spiegano attraverso le dimostrazioni, ma questa non ricordo ce l'abbiano mai spiegata, credo per il semplice motivo che la conoscenza di quella formula è stata data per scontata, quindi le spiegazioni più approfondite spettano per cose più complesse e non per parabole ed equazioni di 2° grado.
Le formule in genere le spiegano attraverso le dimostrazioni, ma questa non ricordo ce l'abbiano mai spiegata, credo per il semplice motivo che la conoscenza di quella formula è stata data per scontata, quindi le spiegazioni più approfondite spettano per cose più complesse e non per parabole ed equazioni di 2° grado.
Peccato =|. Okay, vediamo se qualcuno qui me le può spiegare =D.
Si parte dalla definizione di parabola:
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco , e da una retta, detta direttrice .
Si pongono le coordinate del fuoco $(p, q)$ e come direttrice una retta parallela all'asse delle ascisse $y=d$
Un punto generico $(x, y)$ del piano appartiene alla parabola se ne verifica la definizione, quindi si uguaglia la distanza tra i due punti P ed F con quella tra il punto P e la direttrice, $bar(PF)=d(P, y=2)$ qui, dopo un bel po' di conti, si ottiene l'equazione della parabola $y=1/(2(q-d)) x^2-p/(q-d) x +(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
A questo punto si pone
$a=1/(2(q-d))$;
$b=-p/(q-d)$ e
$c=(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
infine si mettono a sistema e si ricavano $p$, $q$ e $d$
Certo che senza le traslazioni ci sono un bel po' di calcoli.
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco , e da una retta, detta direttrice .
Si pongono le coordinate del fuoco $(p, q)$ e come direttrice una retta parallela all'asse delle ascisse $y=d$
Un punto generico $(x, y)$ del piano appartiene alla parabola se ne verifica la definizione, quindi si uguaglia la distanza tra i due punti P ed F con quella tra il punto P e la direttrice, $bar(PF)=d(P, y=2)$ qui, dopo un bel po' di conti, si ottiene l'equazione della parabola $y=1/(2(q-d)) x^2-p/(q-d) x +(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
A questo punto si pone
$a=1/(2(q-d))$;
$b=-p/(q-d)$ e
$c=(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
infine si mettono a sistema e si ricavano $p$, $q$ e $d$
Certo che senza le traslazioni ci sono un bel po' di calcoli.
In alternativa, la formula dell'ascissa del vertice si può dimostrare con l'analisi: se prendo una parabola del tipo $y=ax^2+bx+c$, il punto in cui la sua derivata è nulla (e cioè dove $2ax+b=0$) rappresenta il vertice (ma questo metodo lo vedrai all'ultimo anno, se fai il liceo scientifico!)
"@melia":
Si parte dalla definizione di parabola:
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco , e da una retta, detta direttrice .
Si pongono le coordinate del fuoco $(p, q)$ e come direttrice una retta parallela all'asse delle ascisse $y=d$
Un punto generico $(x, y)$ del piano appartiene alla parabola se ne verifica la definizione, quindi si uguaglia la distanza tra i due punti P ed F con quella tra il punto P e la direttrice, $bar(PF)=d(P, y=2)$ qui, dopo un bel po' di conti, si ottiene l'equazione della parabola $y=1/(2(q-d)) x^2-p/(q-d) x +(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
A questo punto si pone
$a=1/(2(q-d))$;
$b=-p/(q-d)$ e
$c=(p^2+q^2-d^2)/(2(q-d))$
infine si mettono a sistema e si ricavano $p$, $q$ e $d$
Certo che senza le traslazioni ci sono un bel po' di calcoli.
Ti ringrazio molto, solo quello che mi serviva era la spiegazione dei punti "notevoli" (come si possono chiamare?) della parabola... Ammetto che il titolo era equivoco, scusami...
Intendo le formule di vertice, asse, fuoco e direttrice a partire della eq della parabola. Ora provo a ricavarle a partire dalla relazione tra a,b e c e coordinate dei punti e il termine noto della retta, anche se sembra complicato a prima vista.
Avevo capito che cosa ti interessava, ma se non vuoi usare le trasformazioni geometriche il procedimento è questo. Adesso ricavando p e q ottieni le coordinate del fuoco, ricavando d ottieni l'equazione della direttrice, poi l'asse è la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice, il vertice è il punto medio del segmento tra fuoco e intersezione asse-direttrice.
Perfetto, ho fatto =D
Grazie mille a tutti!!
Grazie mille a tutti!!
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