Mi serve aiuto con un problema di Matematica-Geometria

[Filippo142]

Il problema dice:

Il triangolo isoscele ABC è circoscritto a una semicirconferenza di diametro 16a. Sapendo che i lati obliqui del triangolo sono lunghi 20a determina la misura della base AB

[anna.supermath]

Considera il triangolo isoscele di base AB e vertice C.
Siano D ed E i punti in cui i lati AC e CB, rispettivamente, sono tangenti alla circonferenza inscritta, di diametro 16a (e quindi raggio 8a).
Sia H il piede dell’altezza CH relativa alla base AB:

[math]
DH \perp AC
[/math]

[math]
EH \perp CB.
[/math]

Si consideri il triangolo rettangolo AHC, retto in H.
Sappiamo per il Teorema di Euclide che l’altezza relativa all’ipotenusa DH (pari ad 8a raggio della circonferenza inscritta al triangolo isoscele) è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

[math]
(DH)^2 = AD \cdot DC
[/math]

Poniamo

[math]
AD = x
[/math]

DC = 20a - x

[math]
(8a)^2 = x \cdot (20a - x)
[/math]

da cui si ottiene

[math]
x^2 - 20a x + 64a^2 = 0
[/math]

da cui si ottiene

[math]
x_1 = 4a
[/math]

[math]
x_2 = 16a.
[/math]

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ADH, retto in D si ottiene:

[math]
(AH)^2 = (DH)^2 + (AD)^2
[/math]

[math]
AH = \sqrt{(DH)^2 + (AD)^2}
[/math]

Da cui
se

[math]
AD = 4a
[/math]

[math]
AH = \sqrt{(8a)^2 + (4a)^2}
[/math]

[math]
AH = 4a \sqrt{5}
[/math]

Quindi essendo

[math]
AB = 2 AH
[/math]

[math]
AB = 2 (4a \sqrt{5})
[/math]

[math]
AB = 8a \sqrt{5}
[/math]

Se

[math]
AD = 16a
[/math]

[math]
AH = \sqrt{(8a)^2 + (16a)^2}
[/math]

[math]
AH = 8a \sqrt{5}
[/math]

Quindi essendo

[math]
AB = 2 AH
[/math]

[math]
AB = 2 (8a \sqrt{5})
[/math]

[math]
AB = 16a \sqrt{5}
[/math]

Se hai dubbi chiedi pure