Mi serve aiuto con questi esercizi
1)Data la funzione f(x)= 1+(x-1)^(2/3) verificare che per x = 1 la funzione non è derivabile, dare il significato geometrico del risultato ottenuto.
2)Data la funzione y = (4x-x^2)^(1/2) dire se ad essa è applicabile il teorema di Roll nell'intervallo [1,-3]. In caso affermativo, trovare l'ascissa dei punti che verificano tale teorema
3) Si calcoli senza De l'Hopital, il seguente limite: lim x->0 (sen x - tgx)/x
Grazie mille per l'aiuto.
2)Data la funzione y = (4x-x^2)^(1/2) dire se ad essa è applicabile il teorema di Roll nell'intervallo [1,-3]. In caso affermativo, trovare l'ascissa dei punti che verificano tale teorema
3) Si calcoli senza De l'Hopital, il seguente limite: lim x->0 (sen x - tgx)/x
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Idee tue?
ho gia provato a fare dei calcoli, ma non mi viene nulla, mi sembrava inutile inserire i miei innumerevoli ragionamenti sbagliati nella domanda che avrebbero potuto solo confondere le idee
Sbagli, invece anche solo una traccia di cosa pensi e come pensi è utile. E' più utile correggere i propri errori di ragionamento che conoscere la soluzione.
Capisco in tal caso vi mostro cosa avevo pensato...
1)
Calcoliamo la derivata destra nel punto x=1, o meglio il limite del rapporto incrementale con h>0
lim [f(1+h)-f(1)]/h=lim [1+(h+1-1)²/³-1]/h=
h→0⁺
=lim h²/³/h=lim 1/h¹/³= +oo
h→0⁺
Il limite esiste ma non è finito quindi la funzione non ammette derivata destra quindi non è derivabile.
Se disegniamo la curva il coefficiente angolare della tangente al punto x₀ (con x₀>1) cresce per x₀→1⁺ sino a tendere a +oo cioè alla retta tangente x=1.
2) y = (4x-x^2)^(1/2)
Verifichiamo dove è definita
2.1 Dominio
√(4x-x^2) ⇒ 4x-x^2≥0 ⇒ 0≤x≤4
Dominio=[0,4]
2.2 Valori assunti in frontiera
y(1)=√(4-1)=√3
y(3)=√(12-9)=√3 OK!
La funzione è continua in [1,3] essendo composizione di funzioni elementari continue.
La funzione è derivabile in (1,3) essendo composizione di funzioni elementari derivabili.
Tutte le ipotesi di Rolle sono soddisfatte.
Calcoliamo le coordinate dei punti c dove la derivata si annulla.
Derivata prima y'(x)=(2-x)/√[(4-x)*x]
Verifichiamo dove si annulla
y'(x)=0
2-x=0
x=2
Esiste un solo punto c∈[1,3] tale che y'(c))=0 e tale punto c=2.
3)
=lim (sen x - tgx)/x=lim (sinx-sinx/cosx)/x=
x→0
=lim [sinx(cosx-1)]/(xcosx)=lim (sinx/x)*(cosx-1)/cosx=
x→0
Con i miei compagni non mi trovo.
1)
Calcoliamo la derivata destra nel punto x=1, o meglio il limite del rapporto incrementale con h>0
lim [f(1+h)-f(1)]/h=lim [1+(h+1-1)²/³-1]/h=
h→0⁺
=lim h²/³/h=lim 1/h¹/³= +oo
h→0⁺
Il limite esiste ma non è finito quindi la funzione non ammette derivata destra quindi non è derivabile.
Se disegniamo la curva il coefficiente angolare della tangente al punto x₀ (con x₀>1) cresce per x₀→1⁺ sino a tendere a +oo cioè alla retta tangente x=1.
2) y = (4x-x^2)^(1/2)
Verifichiamo dove è definita
2.1 Dominio
√(4x-x^2) ⇒ 4x-x^2≥0 ⇒ 0≤x≤4
Dominio=[0,4]
2.2 Valori assunti in frontiera
y(1)=√(4-1)=√3
y(3)=√(12-9)=√3 OK!
La funzione è continua in [1,3] essendo composizione di funzioni elementari continue.
La funzione è derivabile in (1,3) essendo composizione di funzioni elementari derivabili.
Tutte le ipotesi di Rolle sono soddisfatte.
Calcoliamo le coordinate dei punti c dove la derivata si annulla.
Derivata prima y'(x)=(2-x)/√[(4-x)*x]
Verifichiamo dove si annulla
y'(x)=0
2-x=0
x=2
Esiste un solo punto c∈[1,3] tale che y'(c))=0 e tale punto c=2.
3)
=lim (sen x - tgx)/x=lim (sinx-sinx/cosx)/x=
x→0
=lim [sinx(cosx-1)]/(xcosx)=lim (sinx/x)*(cosx-1)/cosx=
x→0
Con i miei compagni non mi trovo.
In primo luogo, un esercizio alla volta se no si fa confusione; secondariamente scrivi le formule come si deve, altrimenti non si capisce niente; terza cosa vediamo il primo punto …
La funzione presumo sia questa $f(x)=1+(x-1)^(2/3)$ da derivare in $x_0=1$
Il dominio di questa funzione è $x>1$ dato che l'esponente razionale pretende una base positiva.
Quindi possiamo calcolare il limite del rapporto incrementale solo da destra.
$lim_(h->0^+) [f(x_0+h)-f(x_0)]/h$ che nel nostro caso diventa $lim_(h->0^+) [1+(1+h-1)^(2/3)-1]/h$ cioè $lim_(h->0^+) [h^(2/3)]/h$ da cui $lim_(h->0^+) 1/h^(1/3)= +infty$
La funzione presumo sia questa $f(x)=1+(x-1)^(2/3)$ da derivare in $x_0=1$
Il dominio di questa funzione è $x>1$ dato che l'esponente razionale pretende una base positiva.
Quindi possiamo calcolare il limite del rapporto incrementale solo da destra.
$lim_(h->0^+) [f(x_0+h)-f(x_0)]/h$ che nel nostro caso diventa $lim_(h->0^+) [1+(1+h-1)^(2/3)-1]/h$ cioè $lim_(h->0^+) [h^(2/3)]/h$ da cui $lim_(h->0^+) 1/h^(1/3)= +infty$
Guarda, non faccio il gendarme ma il regolamento del forum chiede cose utili.
Hai scritto bene le formule...ma se metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine di ogni formula, si leggono molto meglio.
Vedi?
Inoltre è bene aprire un thread per ogni esercizio...perchè come vedrai in questo thread diventerà caotico per gli utenti che risponderanno specificare ogni volta a quale esercizio si riferiscono.
Cominciamo dal primo esercizio:
La scrittura non è delle migliori ma il risultato è corretto.
Il limite diverge, quindi non esiste.
Non mi pare che tu abbia avuto problemi.
Hai scritto bene le formule...ma se metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine di ogni formula, si leggono molto meglio.
"Mr.K":
1)Data la funzione $f(x)= 1+(x-1)^(2/3)$ verificare che per $x = 1$ la funzione non è derivabile, dare il significato geometrico del risultato ottenuto.
2)Data la funzione $y = (4x-x^2)^(1/2)$ dire se ad essa è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo $[1,-3]$. In caso affermativo, trovare l'ascissa dei punti che verificano tale teorema
3) Si calcoli senza De l'Hopital, il seguente limite: $lim_(x->0) (sen x - tgx)/x$
Vedi?
Inoltre è bene aprire un thread per ogni esercizio...perchè come vedrai in questo thread diventerà caotico per gli utenti che risponderanno specificare ogni volta a quale esercizio si riferiscono.
Cominciamo dal primo esercizio:
"Mr.K":
Calcoliamo la derivata destra nel punto x=1, o meglio il limite del rapporto incrementale con h>0
$lim_(h→0⁺)[f(1+h)-f(1)]/h=lim [1+(h+1-1)²/³-1]/h= lim_(h→0⁺)h^(2/3)/h= lim_(h→0⁺)h^(-1/3)= +oo$
Il limite esiste ma non è finito quindi la funzione non ammette derivata destra quindi non è derivabile.
La scrittura non è delle migliori ma il risultato è corretto.
Il limite diverge, quindi non esiste.
Non mi pare che tu abbia avuto problemi.
Secondo esercizio:
Mi pare perfetto.
"Mr.K":
2) $y = (4x-x^2)^(1/2)$
Verifichiamo dove è definita
2.1 Dominio
$sqrt(4x-x^2)$ ⇒ $4x-x^2≥0$ ⇒ $0≤x≤4$
Dominio=[0,4]
2.2 Valori assunti in frontiera
$y(1)=sqrt(4-1)=sqrt(3)$
$y(3)=sqrt(12-9)=sqrt(3)$ OK!
La funzione è continua in [1,3] essendo composizione di funzioni elementari continue.
La funzione è derivabile in (1,3) essendo composizione di funzioni elementari derivabili.
Tutte le ipotesi di Rolle sono soddisfatte.
Calcoliamo le coordinate dei punti c dove la derivata si annulla.
Derivata prima $y'(x)=(2-x)/sqrt[(4-x)*x]$
Verifichiamo dove si annulla
y'(x)=0
2-x=0
x=2
Esiste un solo punto c∈[1,3] tale che y'(c))=0 e tale punto c=2.
Mi pare perfetto.
Terzo esercizio
Qui non si capisce come va a finire.
$lim_(x->0) (sen x - tgx)/x=lim_(x->0) (sen(x))/x -lim_(x->0) (tg(x))/x=lim_(x->0) (sen(x))/x -lim_(x->0) (sin(x))/x1/cos(x)=1-1=0$
A me non pare proprio che tu abbia "problemi". Cosa ti cruccia?
"Mr.K":
3) $lim_(x->0) (sen x - tgx)/x=lim _(x->0)(sinx-sinx/cosx)/x=lim _(x->0)[sinx(cosx-1)]/(xcosx)=lim _(x->0) (sinx/x)*(cosx-1)/cosx$
Qui non si capisce come va a finire.
$lim_(x->0) (sen x - tgx)/x=lim_(x->0) (sen(x))/x -lim_(x->0) (tg(x))/x=lim_(x->0) (sen(x))/x -lim_(x->0) (sin(x))/x1/cos(x)=1-1=0$
"Mr.K":
Con i miei compagni non mi trovo.
A me non pare proprio che tu abbia "problemi". Cosa ti cruccia?
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