Mi aiutate per favore con questi quesiti?

[Ley68]

1) Una primitiva della funzione f(x) è sen 2x. Se è possibile calcolare $ int_(0)^(pi/2) f(x/3) dx $ Altrimenti spiegare perché il calcolo non è possibile.

2) si scriva l'equazione della tangente al diagramma della funzione $ int_(1)^(radice dilnx) e^t/t^2 dt $ nel punto P di ascissa x=e

[anto_zoolander]

Tu come hai cominciato per entrambi?

Per il secondo basta ricordare il:
teorema fondamentale del calcolo integrale

Per il primo, se consideri $F(x)=sin(2x)$

$f(x)=d/dx(sin(2x))=2cos(2x)$

e.. $f(x/3)=2cos(2*x/3)$

Sono praticamente due esercizi immediati.

[Ley68]

e ma non ho capito cosa fare...

[Ley68]

ad esempio nel secondo sono arrivata a dire che G'(x) = $ e^sqrtlnx /lnx \cdot 1/(2xsqrtlnx $ però non so poi come uscirne e trovare il risultato

[Ley68]

"anto_zoolander":Tu come hai cominciato per entrambi?

Per il secondo basta ricordare il:
teorema fondamentale del calcolo integrale

Per il primo, se consideri $F(x)=sin(2x)$

$f(x)=d/dx(sin(2x))=2cos(2x)$

e.. $f(x/3)=2cos(2*x/3)$

Sono praticamente due esercizi immediati.

$f(x)=d/dx(sin(2x))=2cos(2x)$ poi non ho capito questo passaggio la d per cosa sta?
scusa il disturbo

[@melia]

Nel primo esercizio ti consigliorei di fare un semplice cambiamento di variabile, ponendo $x/3=t$.

Nel secondo esercizio sostituendo $x=e$ nella relazione che hai calcolato, puoi ricavare il coefficiente angolare della tangente. Da qui in poi ho delle diffocoltà anch'io.

[anto_zoolander]

allora vedo di aiutarti bene, che a quanto pare ne hai bisogno, spero di fornirti un adeguato aiuto.

numero uno

1) Una primitiva della funzione $f(x)$ è $F(x)=sin2x$. Se è possibile calcolare $int_{0}^{pi/2}f(x/3)dx$ Altrimenti spiegare perché il calcolo non è possibile.

allora.. una primitiva di una funzione, è una funzione tale che $F'(x)=f(x)$ ma se $F(x)=sin2x$ è una primitiva

allora $F'(x)=D[sin2x]=2cos2x$ è la funzione. $D[F(x)]$ indica che stai derivando $F(x)$

quindi abbiamo trovato $f(x)=2cos2x$ e vogliamo conoscere $f(x/3)$ che equivale a dire:
prendi $x$ e dividilo per $3$

$f(x/3)=2cos(2*x/3)=2cos((2x)/3)$ trovata la funzione, basta calcolare l'integrale.

$int_{0}^{pi/2}2cos((2x)/3)dx=3int_{0}^{pi/2}2/3cos((2x)/3)dx => [3sin((2x)/3)]_{0}^{pi/2}=[3sin(pi/3)]-[0]=(3sqrt3)/2$

Naturalmente io ho considerato $f(x/3)$ e non $F(x/3)$

numero due

si scriva l'equazione della tangente al diagramma della funzione $int_{1}^{sqrtlnx}e^t/t^2dt$ nel punto $P(e,y_p)$

questo è un pelino più complicato.

cominciamo con il dominio dell'integranda, che è ovviamente $RR-{0}$
il dominio dell'integrale, invece è $sqrtlnxgeq0 <=> lnxgeq0 <=> xgeq1$

graficamente il tutto come si traduce?
la funzione integrale, descrive l'area sottesa alla curva $f(t)$ al variare di $y=sqrtlnx$

Ora lui ti chiede di trovare la retta tangente nel punto $P(e,y_p)$ intanto troviamoci l'ordinata.

$y_p=F(e)=int_{1}^{sqrtlne}e^t/t^2dt$

$y_p=F(e)=int_{1}^{1}e^t/t^2dt=0$ dunque il punto è $P(e,0)$

Naturalmente la funzione integrale, ha una funzione analitica del tipo :

$F(x)=[F(t)]_{1}^{sqrtlnx}$

Quindi avrà un suo grafico, e questo grafico rappresenterà, in ogni punto, l'area sottesa da $e^t/t^2$
Noi vogliamo trovare la retta tangente al grafico di quella funzione che descrive l'area.
Quindi dobbiamo derivare la funzione integrale

quì entra in gioco quello che ti scrissi prima, il teorema fondamentale del calcolo integrale

il quale dice in parole povere che se l'integranda $f(t)$ è continua in un certo intervallo $[a,b]$
allora in quell'intervallo la funzione integrale è derivabile e la sua derivata è:

$F'(x)=D[int_{a}^{x}f(t)dt]=f(x), forall x in[a,b]$

ovvero la derivata della funzione è integrale, è la funzione integranda calcolata nell'estremo variabile.
In particolare:

$F'(g(x))=D[int_{a}^{g(x)}f(t)dt]=f(g(x))*g'(x)$

NB: se consideri $f(t)$ in un intervallo $[a,b]$ è ovvio che puoi calcolare l'area sottesa alla curva solo nell'intervallo.
Di fatti $aleqxleqb$ ovvero $x$ può variare all'interno del dominio della integranda, poiché non avrebbe senso calcolare l'area sottesa ad una curva, in un punto in cui la curva nemmeno è presente.

detto questo, avendo la nostra funzione, ne calcoliamo la derivata:

$F'(x)=D[int_{1}^{sqrtlnx}e^t/t^2dt]=e^sqrt(lnx)/lnx*1/(2sqrt(lnx))*1/x$

$F'(e)=e*1/2*1/e=e$ quindi $e$ è il coefficiente angolare della retta passante per $P(e,0)$

la nostra retta sarà $y=e(x-e)$

spero di non aver fatto stupidi errori di stanchezza

[@melia]

Uno stupido errore di stanchezza lo avevo fatto io non considerando che $sqrt(ln e)=1$, il tuo lavoro mi pare corretto.

[Ley68]

grazie mille a tutti e due