Mi aiutate per favore con questi integrali?

[Ley68]

$ int_(0)^(7/8) x/sqrt(1-x) dx $
$ int_(0)^((sqrt(2))/2 ) x^2/sqrt(1-x^2) dx $

[anto_zoolander]

Tu che approccio hai utilizzato?

[Ley68]

ho provato a sostituire x con cos ma poi mi incasino con l'arcosin

[anto_zoolander]

Nel secondo ad occhio farei la sostituzione

$x=sint$

Per il primo, ti dico che basta un colpo di razionalizzazione per trovare la retta via.
Se trovi ancora difficoltà, fammi sapere.

[Ley68]

me le puoi risolvere per favore così capisco il tutto bene? grazie

[anto_zoolander]

Dai lo hai anche chiesto con gentilezza
Ti illustro prima il procedimento per il secondo.

$intx^2/sqrt(1-x^2)dx$

Nota che il dominio dell'integranda è $-1
pongo $x=sint$ e calcolo il differenziale $dx=costdt$

e consideriamo $tin]-pi/2,pi/2[$ questa scelta è ovvia, data dal fatto che avendo $x=h(t)=sint$ dobbiamo poter tornare in $x$ facendo $t=h^(-1)(x)=arcsinx$ quindi $h(t)$ deve essere invertibile.

$intsin^2t/sqrt(1-sin^2t)*costdt$

$intsin^2t*cost/|cost|dx$

Notiamo che in $]-pi/2,pi/2[, cosxgeq0$
Quindi $|cosx|=cosx, forallx in] -pi/2,pi/2 [$ infatti il grafico del coseno, se lo osservi in quell'intervallo, sta' sempre sopra l'asse $x$
diventa quindi:

$intsin^2tdt=1/2(t-sintcost)$

l'integrale precedente è piuttosto semplice, lascio a te la dimostrazione
Ora torniamo in $x$:

$x=sint <=> t=arcsinx, forallx in]-1,1[, forallt in]-pi/2,pi/2[$

l'integrale quindi è:

$int_{0}^{sqrt2/2}x^2/sqrt(1-x^2)dx=[(arcsinx-xsqrt(1-x^2))/2]_{0}^{sqrt2/2}=(pi-2)/8$

Diciamo che in questo tipo di integrali, nei quali sostituisci la variabile con proprio un'altra funzione, la rogna sta' nel fatto di andare appresso all'invertibilita di ciò che ottieni.
Poi per il resto la cosa non deve spostarti più di tanto.
La matematica ti dà la libertà di applicare qualunque cosa, purché corretta, quindi non porre limiti alla tua immaginazione

Il secondo è più semplice, ti do l'input..

Il dominio dell'integranda è $]-infty,1[$

$intx/sqrt(1-x)dx => -int(-1+(1-x))/sqrt(1-x)dx=$

$=int1/sqrt(1-x)dx-int(1-x)/sqrt(1-x)dx$

razionalizzando il secondo..

$int1/sqrt(1-x)dx-intsqrt(1-x)dx$

Ora penso tu possa proseguire da solo.

[Ley68]

grazie mille, non ho capito però come mai sintcost diventa xsqrt(1-x^2)

[anto_zoolander]

$1/2(t-sintcost)$ e $t=arcsinx <=> x=sint$

allora abbiamo:

$1/2(arcsinx-xcost)$ ora ricordiamo che $cosalpha=sqrt(1-sin^2alpha)$

$cost=sqrt(1-(sin(arcsinx))^2) => cost=sqrt(1-x^2)$

quindi infine..

$1/2(arcsinx-xsqrt(1-x^2))$


NB:

$sin(arcsinx)=x, forallx in[-pi/2,pi/2]$