Mi aiutate per favore con questi integrali?

Ley68
$ int_(0)^(7/8) x/sqrt(1-x) dx $
$ int_(0)^((sqrt(2))/2 ) x^2/sqrt(1-x^2) dx $

Risposte
anto_zoolander
Tu che approccio hai utilizzato?

Ley68
ho provato a sostituire x con cos ma poi mi incasino con l'arcosin

anto_zoolander
Nel secondo ad occhio farei la sostituzione

$x=sint$

Per il primo, ti dico che basta un colpo di razionalizzazione per trovare la retta via.
Se trovi ancora difficoltà, fammi sapere.

Ley68
me le puoi risolvere per favore così capisco il tutto bene? grazie

anto_zoolander
Dai lo hai anche chiesto con gentilezza :-D
Ti illustro prima il procedimento per il secondo.

$intx^2/sqrt(1-x^2)dx$

Nota che il dominio dell'integranda è $-1
pongo $x=sint$ e calcolo il differenziale $dx=costdt$

e consideriamo $tin]-pi/2,pi/2[$ questa scelta è ovvia, data dal fatto che avendo $x=h(t)=sint$ dobbiamo poter tornare in $x$ facendo $t=h^(-1)(x)=arcsinx$ quindi $h(t)$ deve essere invertibile.

$intsin^2t/sqrt(1-sin^2t)*costdt$

$intsin^2t*cost/|cost|dx$

Notiamo che in $]-pi/2,pi/2[, cosxgeq0$
Quindi $|cosx|=cosx, forallx in] -pi/2,pi/2 [$ infatti il grafico del coseno, se lo osservi in quell'intervallo, sta' sempre sopra l'asse $x$
diventa quindi:

$intsin^2tdt=1/2(t-sintcost)$

l'integrale precedente è piuttosto semplice, lascio a te la dimostrazione
Ora torniamo in $x$:

$x=sint <=> t=arcsinx, forallx in]-1,1[, forallt in]-pi/2,pi/2[$

l'integrale quindi è:

$int_{0}^{sqrt2/2}x^2/sqrt(1-x^2)dx=[(arcsinx-xsqrt(1-x^2))/2]_{0}^{sqrt2/2}=(pi-2)/8$

Diciamo che in questo tipo di integrali, nei quali sostituisci la variabile con proprio un'altra funzione, la rogna sta' nel fatto di andare appresso all'invertibilita di ciò che ottieni.
Poi per il resto la cosa non deve spostarti più di tanto.
La matematica ti dà la libertà di applicare qualunque cosa, purché corretta, quindi non porre limiti alla tua immaginazione :-D

Il secondo è più semplice, ti do l'input..

Il dominio dell'integranda è $]-infty,1[$

$intx/sqrt(1-x)dx => -int(-1+(1-x))/sqrt(1-x)dx=$

$=int1/sqrt(1-x)dx-int(1-x)/sqrt(1-x)dx$

razionalizzando il secondo..

$int1/sqrt(1-x)dx-intsqrt(1-x)dx$

Ora penso tu possa proseguire da solo.

Ley68
grazie mille, non ho capito però come mai sintcost diventa xsqrt(1-x^2)

anto_zoolander
$1/2(t-sintcost)$ e $t=arcsinx <=> x=sint$

allora abbiamo:

$1/2(arcsinx-xcost)$ ora ricordiamo che $cosalpha=sqrt(1-sin^2alpha)$

$cost=sqrt(1-(sin(arcsinx))^2) => cost=sqrt(1-x^2)$

quindi infine..

$1/2(arcsinx-xsqrt(1-x^2))$


NB:

$sin(arcsinx)=x, forallx in[-pi/2,pi/2]$

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