Mi aiutate con questo problema di geometria analitica?
ciao, questo problema mi sta dando diversi problemi.
date 2 circonferenze C1(0,0) r=10, C2(50,0) r=15 ed un punto P(-50,0) determinare la circonferenza C3 tangente a C1,C2 e passante per P.
io avevo provato a cercare i punti di intersezione di una circonferenza generica con le due circonferenze C1 e C2, ma alla fine non riesco più a continuare.
Grazie del tempo che mi potrete dedicare.
date 2 circonferenze C1(0,0) r=10, C2(50,0) r=15 ed un punto P(-50,0) determinare la circonferenza C3 tangente a C1,C2 e passante per P.
io avevo provato a cercare i punti di intersezione di una circonferenza generica con le due circonferenze C1 e C2, ma alla fine non riesco più a continuare.
Grazie del tempo che mi potrete dedicare.
Risposte
benvenuto/a nel forum.
con l'equazione generica di una circonferenza e con il passaggio per il punto P, si ricava $c=50(a-50)$
provando a mettere a sistema, si potrebbero distinguere i due casi di $b=0$ e $b!=0$
ho provato ad impostare, anche se non ho portato avanti tutti i conti né tutte le verifiche, ma nel caso $b=0$ ho ricavato $a=50+-10$
da cui le due equazioni $x^2+y^2+60x+500=0$ e $x^2+y^2+40x-500=0$
prova a verificare se sono tangenti ad entrambe...
con $b!=0$ potresti ricavarti $y$ in funzione di $x$ e poi sostituire ... non è molto agevole ma per ora non mi viene in mente altro.
spero sia chiaro. prova e facci sapere.
eventualmente posta quello che hai fatto. ciao.
PS: quelle trovate sono tangenti solo alla prima circonferenza, ed in realtà geometricamente si può dedurre facilmente che nel caso in cui fosse $b=0$ una circonferenza passante per P non potrebbe essere tangente ad entrambe, per cui l'esercizio proseguirebbe verificando che le precedenti circonferenze sono esterne alla seconda data e imponendo $b!=0$. sempre dall'osservazione geometrica, si dovrebbero ricavare due circonferenze, simmetriche rispetto all'asse $x$, rispetto alle quali la prima sia tangente internamente e la seconda tangente esternamente. provo tra un po' a fare i conti e vedremo ...
con l'equazione generica di una circonferenza e con il passaggio per il punto P, si ricava $c=50(a-50)$
provando a mettere a sistema, si potrebbero distinguere i due casi di $b=0$ e $b!=0$
ho provato ad impostare, anche se non ho portato avanti tutti i conti né tutte le verifiche, ma nel caso $b=0$ ho ricavato $a=50+-10$
da cui le due equazioni $x^2+y^2+60x+500=0$ e $x^2+y^2+40x-500=0$
prova a verificare se sono tangenti ad entrambe...
con $b!=0$ potresti ricavarti $y$ in funzione di $x$ e poi sostituire ... non è molto agevole ma per ora non mi viene in mente altro.
spero sia chiaro. prova e facci sapere.
eventualmente posta quello che hai fatto. ciao.
PS: quelle trovate sono tangenti solo alla prima circonferenza, ed in realtà geometricamente si può dedurre facilmente che nel caso in cui fosse $b=0$ una circonferenza passante per P non potrebbe essere tangente ad entrambe, per cui l'esercizio proseguirebbe verificando che le precedenti circonferenze sono esterne alla seconda data e imponendo $b!=0$. sempre dall'osservazione geometrica, si dovrebbero ricavare due circonferenze, simmetriche rispetto all'asse $x$, rispetto alle quali la prima sia tangente internamente e la seconda tangente esternamente. provo tra un po' a fare i conti e vedremo ...
con il metodo algebrico non ho ottenuto nulla di buono.
ho però impostato il problema geometricamente, tenendo presente che la tangente comune è perpendicolare ad entrambi i raggi.
dunque, dall'osservazione geometrica del post precedente, se chiamo $C(alpha, beta)$ il centro della circonferenza cercata ed $r$ il suo raggio, detti $r_1, r_2$ i raggi delle circonferenze di centri $C_1, C_2$ rispettivamente, si ha:
$bar(C C_1)=r-r_1$, $bar(C C_2)=r+r_2$, $bar(CP)=r$, con $C_1(0,0), C_2(50,0), P(-50,0), C(alpha, beta), r_1=10, r_2=15$
mettendo a sistema le formule relative alla distanza tra due punti si ricava $alpha=-165/14, beta=+-15/7 sqrt782, r=995/14$
da cui le equazioni delle due circonferenze: $7x^2+7y^2+165x+-30sqrt782y-9250=0$
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: si può anche ignorare l'evidenza dell'osservazione geometrica ed affrontare i vari casi in maniera analoga. non ho fatto i conti, ma credo che gli altri casi dovrebbero risultare incompatibili con i dati del problema.
ho però impostato il problema geometricamente, tenendo presente che la tangente comune è perpendicolare ad entrambi i raggi.
dunque, dall'osservazione geometrica del post precedente, se chiamo $C(alpha, beta)$ il centro della circonferenza cercata ed $r$ il suo raggio, detti $r_1, r_2$ i raggi delle circonferenze di centri $C_1, C_2$ rispettivamente, si ha:
$bar(C C_1)=r-r_1$, $bar(C C_2)=r+r_2$, $bar(CP)=r$, con $C_1(0,0), C_2(50,0), P(-50,0), C(alpha, beta), r_1=10, r_2=15$
mettendo a sistema le formule relative alla distanza tra due punti si ricava $alpha=-165/14, beta=+-15/7 sqrt782, r=995/14$
da cui le equazioni delle due circonferenze: $7x^2+7y^2+165x+-30sqrt782y-9250=0$
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: si può anche ignorare l'evidenza dell'osservazione geometrica ed affrontare i vari casi in maniera analoga. non ho fatto i conti, ma credo che gli altri casi dovrebbero risultare incompatibili con i dati del problema.
ponendo $bar(C C_1)=r+-r_1, bar(C C_2)=r+-r_2, bar(CP)=r$
si hanno tutti i quattro casi possibili, di cui due soli incompatibili.
è possibile anche $bar(C C_1)=r-r_1, bar(C C_2)=r-r_2, bar(CP)=r$, oltre a quello svolto nel post precedente, cioè
è possibile anche che le due circonferenze date siano entrambe tangenti internamente alla circonferenza da trovare.
prova a svolgere i calcoli, io intanto ti scrivo i nuovi risultati trovati da me:
$alpha=147/2, beta=+-3sqrt(25806), r=995/2$ da cui le equazioni delle due nuove circonferenze:
$x^2+y^2-147x+-6sqrt25806y-9850=0$
si hanno tutti i quattro casi possibili, di cui due soli incompatibili.
è possibile anche $bar(C C_1)=r-r_1, bar(C C_2)=r-r_2, bar(CP)=r$, oltre a quello svolto nel post precedente, cioè
è possibile anche che le due circonferenze date siano entrambe tangenti internamente alla circonferenza da trovare.
prova a svolgere i calcoli, io intanto ti scrivo i nuovi risultati trovati da me:
$alpha=147/2, beta=+-3sqrt(25806), r=995/2$ da cui le equazioni delle due nuove circonferenze:
$x^2+y^2-147x+-6sqrt25806y-9850=0$
grazie tantissimo per l'aiuto che mi stai dando 
quindi adesso devo fare r-r1 e r-r2?
quindi adesso devo fare r-r1 e r-r2?
prego!
a che punto sei?
se provi i quattro casi, due ti portano a valori di $r$ negativi, e due alle quattro circonferenze che ti ho scritto.
prova a scrivere tu qualcosa, dove non sei sicuro/a.
a che punto sei?
se provi i quattro casi, due ti portano a valori di $r$ negativi, e due alle quattro circonferenze che ti ho scritto.
prova a scrivere tu qualcosa, dove non sei sicuro/a.
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