Mi aiutate a verificare questo limite?

[silstar]

[math] lim_{x \to\infty}\frac{x}{x-1}=1 [/math]

devo usare la definzione di limite per x tendente a un valore infinito.(+infinito)
non riesco a capirci niente purtroppo.:cry....so che devo impostare il sistema, ma al momento di risolverlo non so continuare...potreste aiutarmi passaggio per passaggio? grazie mille anticipatamente

[ciampax]

La definizione di

[math]\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\ell[/math]

è la seguente:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ M>0\ :\ |x|>M\ \Rightarrow\ |f(x)-\ell|0\ \Leftrightarrow\ x0\ \Leftrightarrow\ x>1[/math]

e quindi la soluzione

[math]x1+\frac{1}{\epsilon}[/math]

Per la seconda disequazione si ha

[math]N:\ \epsilon x+(1-\epsilon)>0\ \Leftrightarrow\ x>1-\frac{1}{\epsilon}[/math]

[math]D:\ x-1>0\ \Leftrightarrow\ x>1[/math]

e quindi la soluzione

[math]x1[/math]

.

Mettendo le due a sistema si trova la soluzione

[math]x1+\frac{1}{\epsilon}[/math]

che, scelto

[math]M=1+\frac{1}{\epsilon}[/math]

, essendo anche

[math]M>1-\frac{1}{\epsilon}[/math]

, si può riscrivere come

[math]|x|>M[/math]

e quindi il risultato cercato.

[silstar]

grazie :hi:lol

[ciampax]

Prego. Chiudo!