Metodo rigoroso?

[wedge]

data la successione
u(n)=1/(n(n+1))

[altre richieste non interessanti]

calcolare i numeri reali a e b tali che:
per ogni n naturale [?]0 u(n)= a/n + b/(n+1)


dopo aver eguagliato
1/(n(n+1)) = a/n + b/(n+1)
ho sostituito n=1 ed n=2. dal semplice sistema a due incognite e due equazioni ho ottenuto a=1 b=-1

successivamente ho dimostrato per induzione che con a=1 e b=-1
1/(n(n+1)) = 1/n + -1/(n+1)
per ogni n naturale [?]0

vorrei chiedervi se a vostro avviso l'uso della prova "empirica" con n=1 ed n=2 è accettabile o avrei fatto meglio ad utilizzare un altro metodo che non richiedesse la successiva dimostrazione per induzione.
grazie

[Sk_Anonymous]

Un metodo piu' generale,che e' seguito anche nel
calcolo degli integrali di funzioni razionali,consiste
nel rendere l'eguaglianza in forma intera :
1=a(n+1)+b(n)---> 1=(a+b)n+a
Per il principio d'identita' dei polinomi deve essere:
[a+b=0,a=1] da cui appunto a=-b=1.
karl.

[Sk_Anonymous]

Hai fatto sin troppo, una volta "intuito per via empirica" che la soluzione era a=1 e b=-1, bastava verificare che 1/(n(n+1))=1/n-1(n+1) direttamente, senza usare il principio di induzione.

In genere per problemi di questo tipo uno parte da 1/(n(n+1))=a/n+b/(n+1), fa i conti e usa il Principio di identità dei polinomi, il quale afferma che due polinomi sono identicamente uguali se e solo se hanno i rispettivi coefficienti uguali tra loro. Questo evita di trattare il problema empiricamente, e da' subito la soluziione cercata, senza dover apportare altre prove.

Luca.

[wedge]

chiaro, thx.