Metodo di dimostrazione
Ho una domanda ben precisa su un metodo di dimostrazione dei problemi matematici, ma siccome non riesco a formulare bene la domanda, proverò con un esempio.
"Per ogni n $in$ N, trovare qual è il più grande $k$ tale che $2^k$ divide $3^n+1$
Ho iniziato dimostrando che nessun $3^n+1$ è multiplo di 8, cioè di $2^3$, e l'ho dimostrato così:
3 è un numero che diviso per 8 dà resto 3, e questo lo possiamo scrivere in due modi:
3=[3]$_8$
3=8m+3, con m $in$ N
moltiplichiamo 3 per 3
$3*3=(8m+3)*3=24m+9=8(m+4)+1$
cioè $3*3=3^2$ è un numero che diviso per 8 dà resto 1, $3^2$=[1]$_8$
adesso moltiplichiamo 9 nuovamente per 3.
$9*3=(8(m+4)+1)*3=8(m+7)+3$
cioè $9*3=3^3$ è un numero che diviso per 8 dà resto 3, $3^3$=[3]$_8$
Adesso è normale che questo si possa estendere a tutte le potenze di 3, cioè le potenze di 3 si alternano:
1) per n pari $3^n$=[1]$_8$ e quindi $3^n+1$=[2]$_8$
2) per n dispari $3^n$=[3]$_8$ e quindi $3^n+1$=[4]$_8$
E' proprio questo passaggio che non mi è chiarissimo. Come faccio, nelle dimostrazioni rigorose, ad estendere il concetto a TUTTE le potenze di 3
Voglio dire: affermato che $3^0$=[1]$_8$, $3^2$=[3]$_8$ e $3^3$=[1]$_8$, quali sono le parole precise che mi permettono di dire che le potenza di 3 sono o [1]$_8$ o [3]$_8$
"Per ogni n $in$ N, trovare qual è il più grande $k$ tale che $2^k$ divide $3^n+1$
Ho iniziato dimostrando che nessun $3^n+1$ è multiplo di 8, cioè di $2^3$, e l'ho dimostrato così:
3 è un numero che diviso per 8 dà resto 3, e questo lo possiamo scrivere in due modi:
3=[3]$_8$
3=8m+3, con m $in$ N
moltiplichiamo 3 per 3
$3*3=(8m+3)*3=24m+9=8(m+4)+1$
cioè $3*3=3^2$ è un numero che diviso per 8 dà resto 1, $3^2$=[1]$_8$
adesso moltiplichiamo 9 nuovamente per 3.
$9*3=(8(m+4)+1)*3=8(m+7)+3$
cioè $9*3=3^3$ è un numero che diviso per 8 dà resto 3, $3^3$=[3]$_8$
Adesso è normale che questo si possa estendere a tutte le potenze di 3, cioè le potenze di 3 si alternano:
1) per n pari $3^n$=[1]$_8$ e quindi $3^n+1$=[2]$_8$
2) per n dispari $3^n$=[3]$_8$ e quindi $3^n+1$=[4]$_8$
E' proprio questo passaggio che non mi è chiarissimo. Come faccio, nelle dimostrazioni rigorose, ad estendere il concetto a TUTTE le potenze di 3
Voglio dire: affermato che $3^0$=[1]$_8$, $3^2$=[3]$_8$ e $3^3$=[1]$_8$, quali sono le parole precise che mi permettono di dire che le potenza di 3 sono o [1]$_8$ o [3]$_8$
Risposte
Esiste un metodo più veloce ma che richiede qualche conoscenza in più di teoria dei numeri: \(\displaystyle 3^n+1 \equiv 0 \pmod{8} \Rightarrow 3^n \equiv -1 \equiv 7 \pmod{8} \), ma le potenze di 3 modulo 8 sono congrue ad: \(\displaystyle 3,1 \). Assurdo.
[OT] Preparazione per la regionale di math? [OT]
[OT] Preparazione per la regionale di math? [OT]
prova ad applicare il principio di induzione!
"giannirecanati":
Esiste un metodo più veloce ma che richiede qualche conoscenza in più di teoria dei numeri: \(\displaystyle 3^n+1 \equiv 0 \pmod{8} \Rightarrow 3^n \equiv -1 \equiv 7 \pmod{8} \), ma le potenze di 3 modulo 8 sono congrue ad: \(\displaystyle 3,1 \). Assurdo.
[OT] Preparazione per la regionale di math? [OT]
Potresti spiegarmelo meglio, per favore?? è un po' quello che avevo detto io?
Comunque: preparazione per la provinciale. la regionale non esiste
Comunque è esattamente quello che volevo dire io. però io mi chiedevo, come fai a dimostrare che $3^n=1, 3 (mod 8)$?
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