Metodo delle frazioni parziali applicato agli integrali indefiniti
Salve a tutti. Devo risolvere questo integrale:
\(\displaystyle \int \dfrac{s^{2}}{(s^{2}-1)^{2}} \; ds\)
La procedura è quella di scrivere la funzione come la somma di frazioni più semplici, e il risultato è:
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{4(s+1)^{2}} - \dfrac{1}{4(s+1)} + \dfrac{1}{4(s-1)^{2}} + \dfrac{1}{4(s-1)} \; ds\)
Per arrivare a questo risultato si deve ricorrere al metodo delle frazioni parziali: ma perché quattro termini?
Grazie in anticipo
\(\displaystyle \int \dfrac{s^{2}}{(s^{2}-1)^{2}} \; ds\)
La procedura è quella di scrivere la funzione come la somma di frazioni più semplici, e il risultato è:
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{4(s+1)^{2}} - \dfrac{1}{4(s+1)} + \dfrac{1}{4(s-1)^{2}} + \dfrac{1}{4(s-1)} \; ds\)
Per arrivare a questo risultato si deve ricorrere al metodo delle frazioni parziali: ma perché quattro termini?
Grazie in anticipo
Risposte
Perché il denominatore è composto da due polinomi di primo grado con molteplicità due ...
E come faccio a ricavare il fratto da assegnare ad ogni termine?
Premessa: conosci il metodo di scomposizione in fratti semplici (o frazioni parziali)? Presumo di sì, dato l'esercizio ... quindi come dovresti fare?
Non proprio, ho visto qualche cosa in rete ma non si capisce molto. La cosa che non mi è chiara è quando devo mettere solo A al numeratore o Ax + B, Cx + D ecc.
... mmmm ... non è un metodo "difficile" da usare però spiegarlo in un post meglio di quello che hai letto in rete ... mah ...
Il presupposto consiste nel fatto che ogni polinomio può essere ridotto ad un prodotto i cui fattori sono solamente polinomi di primo grado e/o di secondo grado irriducibili, eventualmente ripetuti.
Quindi il polinomio al denominatore potrai sempre scomporlo in quel modo; una volta fatto questo devi "costruire" una somma di addendi che sostanzialmente hanno due forme: $A/(x+m)$ per quelli di primo grado e $(Bx+C)/(x^2+px+q)$ per quelli di secondo grado irriducibili; inoltre se qualcuno di questi fattori è ripetuto (per esempio $(x-1)(x-1)$ cioè $(x-1)^2$) dovrai avere tanti addendi quant'è il numero di ripetizioni (esempio: se hai $(x+3)^3$ allora dovrai avere tre addendi cosiffatti $A_1/(x+3)+A_2/(x+3)^3+A_3/(x+3)^3$.
La sostanza è questa ...
Il presupposto consiste nel fatto che ogni polinomio può essere ridotto ad un prodotto i cui fattori sono solamente polinomi di primo grado e/o di secondo grado irriducibili, eventualmente ripetuti.
Quindi il polinomio al denominatore potrai sempre scomporlo in quel modo; una volta fatto questo devi "costruire" una somma di addendi che sostanzialmente hanno due forme: $A/(x+m)$ per quelli di primo grado e $(Bx+C)/(x^2+px+q)$ per quelli di secondo grado irriducibili; inoltre se qualcuno di questi fattori è ripetuto (per esempio $(x-1)(x-1)$ cioè $(x-1)^2$) dovrai avere tanti addendi quant'è il numero di ripetizioni (esempio: se hai $(x+3)^3$ allora dovrai avere tre addendi cosiffatti $A_1/(x+3)+A_2/(x+3)^3+A_3/(x+3)^3$.
La sostanza è questa ...
Quindi nel mio caso sarebbe
\(\displaystyle \dfrac{A_{1}}{(s+1)^{2}} - \dfrac{A_{2}}{(s+1)} + \dfrac{A_{3}}{(s-1)^{2}} + \dfrac{A_{4}}{(s-1)} \)
Dico bene?
\(\displaystyle \dfrac{A_{1}}{(s+1)^{2}} - \dfrac{A_{2}}{(s+1)} + \dfrac{A_{3}}{(s-1)^{2}} + \dfrac{A_{4}}{(s-1)} \)
Dico bene?
C'è un imprecisione ... il segno "meno" non c'entra niente, è una somma di addendi il cui segno non conosci a priori, quando avrai trovato i valori dei vari $A$, conoscerai pure il segno di quell'addendo ...
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