Mediane ed equivalenze

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giannirecanati
giannirecanati
21 mag 2012, 13:15
Il testo dell'esercizio incriminato ( :-D ) è questo:
Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sopra due lati di un triangolo è equivalente al doppio del quadrato della mediana relativa al terzo lato aumentato del doppio del quadrato della metà del terzo lato stesso.

Sicuramente occorrono i teoremi di pitagora generalizzati:
1)in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato opposto all'angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati aumentata del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso;
2)in un qualsiasi triangolo il quadrato costruito sul lato opposto a un angolo acuto è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso.

Adesso chiamo \(\displaystyle AB \) il lato su cui cade la mediana e \(\displaystyle CM \) la mediana. Quindi si deve avere:
\(\displaystyle AC^2+BC^2=2CM^2 + 2AM^2 \). Adesso suppongo \(\displaystyle AC
Risposte
giammaria2
giammaria2
21 mag 2012, 13:15
La proiezione di CM su AM non è AH bensì MH. Quindi le formule sono
$AC^2=CM^2+AM^2-2AM*MH$
$BC^2=CM^2+BM^2+2BM*MH$
Sommando membro a membro e ricordando che $BM=AM$ hai la tesi.
giannirecanati
giannirecanati
21 mag 2012, 13:27
Oddio è vero! Grazie infinite Giammaria!
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