Maturità PNI 2001... help!
Sia AB un segmento di lunghezza 2a e C il suo punto medio. Fissato un conveniente sistema di coordinate
cartesiane monometriche (Oxy):
a) si verifichi che il luogo dei punti P tali che $(PA)/(PB)=k$ (con k positivo) è una circonferenza
(circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta;
b) si determini il luogo geometrico dei punti X che vedono AC sotto un angolo di 45°;
c) posto X appartenente a $gamma$ in uno dei due semipiani di origine la retta per A e per B e indicato con $alpha$ l’angolo XAC si illustri l’andamento della funzione $y=f (x)$ con $f(x)=((XB)/(XA))^2$ e $x=tgalpha
il punto a) è semplice, infatti posizionando C nell'origine, il punto A(-a,0) e B(a,0)
infatti si ottine che, posto P(x,y), $PA=sqrt((x+a)^2+y^2)$ e $PB=sqrt((x-a)^2+y^2)$
quindi la curva si ottiene esplicitando l'equazione $sqrt(((x+a)^2+y^2)/((x-a)^2+y^2))=k
ricavando il risultato finale dato da $x^2(1-k^2)+y^2(1-k^2)+2ax(1+k^2)+a^2(1-k^2)=0
la circonferenza trovata degenera in una retta quando k=1.
riscritta meglio viene:
$x^2+y^2+2ax(1+k^2)/(1-k^2)+a^2=0
il b) trovo le difficoltà, ovvero detto X(x,y) vuol dire che l'angolo formato tra le rette passanti per AX e quelle passanti per CX devono formare un angolo di 45° o $(pi/4)$.
quindi io ho impostato la seguente equazione, però non me ne tiro facilemnte fuori, cioè
considerando y>0, considero il triangolo AXC.
per il th di carnot (o teorema di pitagora generalizzato) abbiamo che $AC^2=AX^2+CX^2-2AXCXcosX
da cui $cosX=(AX^2+CX^2-AC^2)/(2AXCX)
sappiamo che $cos45=sqrt2/2$ , $AC=a$, $AX=sqrt((x+a)^2+y^2)$ e $CX=sqrt(x^2+y^2)
quindi l'equazione del luogo dei punti che soddisfano il punto b) è
$((x+a)^2+y^2+x^2+y^2-a^2)/(2sqrt(((x+a)^2+y^2)(x^2+y^2)))=sqrt2/2
(che essendo tutti dei segmenti, sono tutti maggiori di zero)
sviluppiamo i calcoli $2x^2+2y^2+2ax=sqrt(2(x^2+a^2+2ax+y^2)(x^2+y^2))
$4x^4+4y^4+4a^2x^2+8ax^3+8axy^2+8x^2y^2-2x^4-4x^2y^2-2a^2x^2-2a^2y^2-2y^4-4ax^3-4axy^2=0
semplificando risulta
$x^4+y^4+a^2x^2+2ax^3+2axy^2+2x^2y^2-a^2y^2=0
raccogliendo viene $(x^2+y^2)^2+a^2(x^2-y^2)+2ax(x^2+y^2)=0
quindi il luogo dei pnti cercato è $(x^2+y^2)(x^2+y^2+2ax)+a^2(x^2-y^2)=0
visto che mi puzza un pò, volevo sapere se era giusto, sento che forse c'è qualcosa che non va...
cartesiane monometriche (Oxy):
a) si verifichi che il luogo dei punti P tali che $(PA)/(PB)=k$ (con k positivo) è una circonferenza
(circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta;
b) si determini il luogo geometrico dei punti X che vedono AC sotto un angolo di 45°;
c) posto X appartenente a $gamma$ in uno dei due semipiani di origine la retta per A e per B e indicato con $alpha$ l’angolo XAC si illustri l’andamento della funzione $y=f (x)$ con $f(x)=((XB)/(XA))^2$ e $x=tgalpha
il punto a) è semplice, infatti posizionando C nell'origine, il punto A(-a,0) e B(a,0)
infatti si ottine che, posto P(x,y), $PA=sqrt((x+a)^2+y^2)$ e $PB=sqrt((x-a)^2+y^2)$
quindi la curva si ottiene esplicitando l'equazione $sqrt(((x+a)^2+y^2)/((x-a)^2+y^2))=k
ricavando il risultato finale dato da $x^2(1-k^2)+y^2(1-k^2)+2ax(1+k^2)+a^2(1-k^2)=0
la circonferenza trovata degenera in una retta quando k=1.
riscritta meglio viene:
$x^2+y^2+2ax(1+k^2)/(1-k^2)+a^2=0
il b) trovo le difficoltà, ovvero detto X(x,y) vuol dire che l'angolo formato tra le rette passanti per AX e quelle passanti per CX devono formare un angolo di 45° o $(pi/4)$.
quindi io ho impostato la seguente equazione, però non me ne tiro facilemnte fuori, cioè
considerando y>0, considero il triangolo AXC.
per il th di carnot (o teorema di pitagora generalizzato) abbiamo che $AC^2=AX^2+CX^2-2AXCXcosX
da cui $cosX=(AX^2+CX^2-AC^2)/(2AXCX)
sappiamo che $cos45=sqrt2/2$ , $AC=a$, $AX=sqrt((x+a)^2+y^2)$ e $CX=sqrt(x^2+y^2)
quindi l'equazione del luogo dei punti che soddisfano il punto b) è
$((x+a)^2+y^2+x^2+y^2-a^2)/(2sqrt(((x+a)^2+y^2)(x^2+y^2)))=sqrt2/2
(che essendo tutti dei segmenti, sono tutti maggiori di zero)
sviluppiamo i calcoli $2x^2+2y^2+2ax=sqrt(2(x^2+a^2+2ax+y^2)(x^2+y^2))
$4x^4+4y^4+4a^2x^2+8ax^3+8axy^2+8x^2y^2-2x^4-4x^2y^2-2a^2x^2-2a^2y^2-2y^4-4ax^3-4axy^2=0
semplificando risulta
$x^4+y^4+a^2x^2+2ax^3+2axy^2+2x^2y^2-a^2y^2=0
raccogliendo viene $(x^2+y^2)^2+a^2(x^2-y^2)+2ax(x^2+y^2)=0
quindi il luogo dei pnti cercato è $(x^2+y^2)(x^2+y^2+2ax)+a^2(x^2-y^2)=0
visto che mi puzza un pò, volevo sapere se era giusto, sento che forse c'è qualcosa che non va...
Risposte
nessuno sa se è giusto 
? scusate l'insistenza, però son molto curioso di veder che m'è saltato fuori 
? scusate l'insistenza, però son molto curioso di veder che m'è saltato fuori
ciao fu^2...se gradisci e se questo non va contro le regole del forum ti posso mandare sul sito di un prof di matematica che ha delle dispense in sono risolti i problemi di esame....aspetto notizie da te e dai moderatori
Il luogo richiesto al punto b e' noto ed e' l'arco di circonferenza (maggiore) avente per raggio $(bar(AC))/2sqrt2$
e per centro il vertice del triangolo ,isoscele e rettangolo,di ipotenusa AC .Da qui sarebbe facile
ricavare la forma analitica di tale arco con la scelta del riferimento da te fatta.
Anche i tuoi calcoli portano al medesimo risultato,sebbene non siano consigliabili in
un compito di esame.
Per comodita' poniamo $x^2+y^2=t$ e dunque la tua equazione diventa :
$t^2+2axt+(a^2x^2-a^2y^2) =0$ e ricavando t risulta:
$t=-ax+-sqrt(a^2x^2-a^2x^2+a^2y^2)=-ax+-ay$ e risostituendo il valore di t
si ottengono due circonferenze (di ognuna delle quali occorre prendere un opportuno arco) :
$gamma_1:x^2+y^2+ax-ay=0$
$gamma_2:x^2+y^2+ax+ay=0$
Esse corrispondono ai due diversi modi di scegliere l'arco in questione , "sopra o sotto" il segmento AB.
karl
e per centro il vertice del triangolo ,isoscele e rettangolo,di ipotenusa AC .Da qui sarebbe facile
ricavare la forma analitica di tale arco con la scelta del riferimento da te fatta.
Anche i tuoi calcoli portano al medesimo risultato,sebbene non siano consigliabili in
un compito di esame.
Per comodita' poniamo $x^2+y^2=t$ e dunque la tua equazione diventa :
$t^2+2axt+(a^2x^2-a^2y^2) =0$ e ricavando t risulta:
$t=-ax+-sqrt(a^2x^2-a^2x^2+a^2y^2)=-ax+-ay$ e risostituendo il valore di t
si ottengono due circonferenze (di ognuna delle quali occorre prendere un opportuno arco) :
$gamma_1:x^2+y^2+ax-ay=0$
$gamma_2:x^2+y^2+ax+ay=0$
Esse corrispondono ai due diversi modi di scegliere l'arco in questione , "sopra o sotto" il segmento AB.
karl
bene son contento che i miei calcoli eran giusti grazie per avermi fatto vedere come si ricavan le due semicirconferenze!!!
grazie karl! 
grazie per avermi fatto vedere come si ricavan le due semicirconferenze!!!grazie karl!
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