MATRICE HESSIANA

[eldaelda]

Buongiorno a tutti, qualcuno riesce a spiegarmi questo esercizio?
Grazie.
Data la funzione f(x,y) = log (x^2 + y^2), la matrice Hessiana calcolata nel punto P =(1,1) vale?
Grazie Mille a tutti

[ciampax]

La matrice Hessiana associata ad una funzione

[math]f(x,y)[/math]

in un punto

[math]P(x_0,y_0)[/math]

è definita al modo seguente:

[math]H_f(x_0,y_0)=\det\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) & & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) & & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)
\end{array}\right|[/math]

cioè è il determinante della matrice che ha, come componenti, tutte le derivate del secondo ordine di f calcolate nel punto dato.

Nel tuo caso

[math]f_x=\frac{2x}{x^2+y^2},\qquad f_y=\frac{2y}{x^2+y^2}[/math]

e quindi

[math]f_{xx}=\frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{xy}=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{yy}=\frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/math]

da cui

[math]H_f(1,1)=\det\left|\begin{array}{ccc}
0 & & -1\\ -1 & & 0
\end{array}\right|=-1[/math]