Matematica-problema sulla circonferenza

[sintu]

questo è il testo del problema faccio la terza liceo scientifico

Trova l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e con il centro sulla retta y=5x-8.
Considera poi i due triangoli equilateri OAB e OAC aventi un lato sul diametro OA della circonferenza.
Trova le coordinate dei vertici B e C (con xB minore xC)
Perimetro e Area di OCAB

[BIT5]

La circonferenza generica e':

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Sappiamo che la circonferenza e' tangente nell'origine alla retta.
Pertanto l'origine e' un punto della circonferenza.

E quindi il punto

[math] O(0,0) [/math]

soddisfa l'equazione della circonferenza:

[math] 0^2+0^2+a0+b0+c=0 \to c=0 [/math]

Sappiamo che questa circonferenza deve essere tangente alla retta

[math]y=-x[/math]

Inoltre sappiamo che le coordinate del centro di una circonferenza sono

[math] C(- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}) [/math]

Nel nostro caso, siccome tutti i punti che stanno sulla retta y=5x-8 hanno le seguenti coordinate:

[math] P(x_0 , 5x_0 -8 ) [/math]

Quindi

[math] - \frac{b}{2}=5 (- \frac{a}{2})-8 \to b=-5a+16 [/math]

La circonferenza pertanto e' del tipo

[math]x^2+y^2+ax+(-5a+16)y=0 [/math]

A questo punto troviamo i punti di intersezione con la retta y=-x

[math] \{y=-x \\ x^2+(-x)^2+ax+(-5a+16)(-x)=0 [/math]

Risolvendo la seconda equazione ottieni (se ho fatto giusti i calcoli)

[math] 2x^2+(6a+16)x=0 \to 2x(x+6a+16)=0 [/math]

Che da' come soluzioni

[math] x=0 \ x=-6a-16 [/math]

Condizione di tangenza e' che i punti di intersezione debbano essere coincidenti.

Pertanto puoi o calcolare il delta di

[math] 2x^2+(6a+16)x=0 [/math]

e porlo uguale a zero, o piu' velocemente concludere che dal momento che una soluzione e' zero, anche l'altra dovra' essere zero.

Ottieni in entrambi i casi

[math] a= \frac{8}{3} [/math]

(e pertanto dal momento che b=-5a+16...)

I passaggi sono quelli che ti ho postato, i calcoli ricontrollali tu :D