Matematica per compito di domani

[Alexdino01]

determina l'equazione della parabola con vertice in V(2;-2) e tangente alla retta di equazione y=2x-7

[glo_camp]

Ciao!
Come saprai l'equazione generica di una parabola è
y = ax^2 + bx + c

Mentre il vertice ha equazione V (-b/2a; Δ/4a)
Perciò si può cominciare ponendo:
-b/2a = 2
-Δ/4a = -2 --> -(b^2-4ac)/4a = -2

Il fatto che la retta di equazione y = 2x - 7 sia tangente alla parabola si traduce nel fatto che, intersecando le due figure, risulta un solo punto in comune; perciò mettendo a sistema l'equazione della retta e della parabola e ponendo il Δ dell'equazione che si ottiene = 0, si dovrebbero trovare i parametri a, b e c che definiscono l'equazione della parabola (ovviamente usando anche i risultati delle equazioni parametriche ottenute dalle informazioni del vertice).

[Studente Anonimo]

Ciao,
sappiamo che, il vertice, in generale, ha coordinate:

[math]V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]

dove

[math]\Delta =b^2-4ac[/math]

Nel nostro caso

[math]V(x_v,y_v)[/math]

dove

[math]x_v,y_v[/math]

sono i due numeri noti.

Possiamo scrivere le seguenti identità:

[math]b=2a x_v[/math]

[math]\Delta=4a y_v[/math]

per la prima:

[math]2=- \frac{b}{2a} [/math]

[math]4a=-b [/math]

[math]b=-4a[/math]

per la seconda, analogamente:

[math]-2 = - \frac{\Delta}{4a}[/math]

[math]\Delta = 8a [/math]

[math]b^2-4ac=8a[/math]

Ora sostituiamo il valore di b della prima nella seconda,si ottiene:

[math](-4a)^2-4ac=8a[/math]

[math]16a^2-4ac=8a[/math]

[math]4ac=16a^2-8a[/math]

[math]4ac=4a(4a-2) [/math]

[math]c=4a-2[/math]

Quindi la parabole di vertice V(2,-2) sarà nella forma:

[math]y=ax^2-4ax+4a-2[/math]

troviamo i punti di intersezione tra la parabole e la retta tangente data.

[math]\left\{\begin{matrix}
y=2x-7 & \\
y=ax^2-4ax+4a-2&
\end{matrix}\right.[/math]

risolvendo per confronto:

[math]2x-7=ax^2-4ax+4a-2 [/math]

[math]ax^2+(-4a-2)x+4a+5=0[/math]

siccome vogliamo che i punti di intersezione siano due punti coincidenti,
imponiamo che il delta dell'equazione sia uguale a zero:

[math]Δ= (-4a-2)^2-4(a)(4a+5) = 0[/math]

cioè:

[math]16a^2+4+16a-16a^2-20a=0 [/math]

[math]4a=4[/math]

[math]a=1[/math]

sostituiamo dunque il valore di a appena trovato all'equazione della parabola, otteniamo:

[math]y=x^2-4ax-2[/math]

che è la parabola cercata.

spero di esserti stato di aiuto.
saluti :-)