Matematica limite di una funzione

[oltreoceano90]

ciao...avrei bisogno di una mano, devo risolvere questo esercizio:
limite che tende a infinito di

[math]\frac{xln(1+\sqrt{x(x^2-1)})}{1+x^2}[/math]

qualcuno potrebbe darmi gentilmente una mano
grazie in anticipo!!!

[IPPLALA]

scusa al denominatore cos'hai??

[SuperGaara]

Sarà x per il logaritmo naturale di (1+radice)...

[Cherubino]

Il limite tende a zero:
il denominatore ha ordine di infinito maggiore del numeratore.

[oltreoceano90]

potresti spiegarmi come hai fatto a ottenere il risultato??anche solo a parole...

[issima90]

e il logaritmo naturale è cm un logaritmo normale?

[Cherubino]

x^2 va a infinito "più velocemente" di

[math]x \ln (qualsiasi polinomio)[/math]

.
Questo accade poiché il logaritmo tende ad infinito in maniera estremamente lenta.


issima: il logaritmo naturale è il logaritmo in base 10 moltiplicato per una costante:

[math] \log x= \frac{\ln x}{ \ln 10}[/math]

[oltreoceano90]

capito, è una cosa che non abbiamo fatto,ma c'è stata solo accenato,quindi so di cosa parli...ma non ci sarebbe un altro metodo per ottenere lo stesso risultato??

[issima90]

quindi il risultato è cmq 0???perchè ci sarei cmq arrivata in quanto goni logaritmo è sempre più lento di qualsiasi altra curva!
ah..nn sapevo..grazie ste!!!

[SuperGaara]

issima90:
e il logaritmo naturale è cm un logaritmo normale?

Cosa vuoi dire? Tranquilla non è un logaritmo handicappato :asd

[math]\ln(x)[/math]

è il logaritmo naturale di x, che ha per base e (cioè il numero di Nepero, circa 2,7) e per argomento x.

[oltreoceano90]

e un'altra domanda...per quali valori di x si avrà la funzione maggiore o uguale a 0??

[Cherubino]

issima90:
quindi il risultato è cmq 0???perchè ci sarei cmq arrivata in quanto goni logaritmo è sempre più lento di qualsiasi altra curva!

Questo è vero solo se l'argomento di un logaritmo è un polinomio (o una radice)...
Controesempio:

[math]\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + e^{-x})}{x} = 1[/math]

[issima90]

si certo ...ma nel caso sopra?

[SuperGaara]

oltreoceano90:
e un'altra domanda...per quali valori di x si avrà la funzione maggiore o uguale a 0??

[math]f(x)=\frac{x\ln(1+\sqrt{x(x^2-1)})}{1+x^2}[/math]

Prima di tutto trovo il dominio, cioè l'insieme che contiene tutti i valori di x per cui la funzione esiste.

[math]\begin{cases} x(x^2-1)\geq 0 \\ 1+\sqrt{x(x^2-1)}>0 \end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} -1 \leq x \leq 0\;;\;x \geq 1 \\ \sqrt{x(x^2-1)}>-1 \end{cases}[/math]

La seconda equazione è sempre vera per qualsiasi valore di x per il quale esiste, perciò il dominio D è:

[math]-1 \leq x \leq 0\;;\;x \geq 1[/math]

.

A questo punto studio il segno della funzione:
- il denominatore

[math]1+x^2[/math]

è sempre maggiore strettamente dello 0.
- il numeratore è dato da

[math]x\ln(1+\sqrt{x(x^2-1)}[/math]

, perciò ho:
1)

[math]x \geq 0[/math]

2)

[math]\ln(1+\sqrt{x(x^2-1)} \geq 0\\1+\sqrt{x(x^2-1)} \geq 1\\\sqrt{x(x^2-1)} \geq 0[/math]

che vale sempre nel dominio

Perciò, essendo il denominatore e il logaritmo sempre maggiori dello 0 nel dominio, gli unici valori di x che danno contributo per il segno sono

[math]x \geq 0[/math]

.

Interseco quei valori con il dominio e ottengo come soluzioni:

[math]x \geq 1[/math]

.

[oltreoceano90]

come si fa a stabilire se una funzione è continua,per esempio questa???

[xico87]

con la definizione.
se è soddisfatta la condizione

[math] \lim_{x \to c} f(x) = f(c) [/math]

per ogni x appartenente al dominio, allora la funzione è continua.
ad esempio, la funzione 1/x è continua in tutto il suo dominio (in x=0 si dice impropriamente essere discontinua, perchè in realtà nn esiste in quel punto).
la funzione f(x) = 1/x se x diverso da 0, e 0 se x = 0, è invece discontinua in x = 0

[oltreoceano90]

se ho una funzione,calcolo quindi il dominio e dopo posso dire che la funzione è continua all'interno del suo dominio?

[xico87]

se hai una funzione, prima calcoli il dominio, poi puoi stabilire se sia continua o meno

[oltreoceano90]

quindi non per forza una funzione è continua nel suo dominio...e come faccio a dire dopo che ho il dominio se è continua?uso la condizione?ma "c" che valore sarebbe?

[xico87]

c è un punto qualsiasi del dominio. ovvio che devi usare la condizione per stabilire se è continua o no. prova a guardarti bene le discontinuità di prima, seconda e terza specie, poi chiedi se hai dubbi

[oltreoceano90]

riguardo la continuità della funzione,ho provato a calcolare f(0), ottenendo 0 e il limite di x che tende a 0 della funzione sopa citata,ottenendo sempre 0.quindi la funzione è continua?