Matematica help me :D

[kiria]

Determina come deve essere condotta una retta parallela all'asse x se si vuole che le corde staccate su di essa dalle circonferenze di equazioni x^2+y^2+6x+1=0 e x^2+y^2-10x-10y+37=0 abbiano la stessa lunghezza.
Risultato = (x^2+y^2+4x+2y=0;A(-3,1);Area=6)

[BIT5]

Si tratta di prendere il fascio di rette parallele all'asse x (y=k) e metterle a sistema con le circonferenze.

[math] \{y=k \\ x^2+y^2+6x+1=0 [/math]

sostituendo avremo

[math] x^2+k^2+6x+1 = 0 \to x^2+6x+1+k^2 = 0 [/math]

da cui le soluzioni (in funzione di k) ovvero i punti di intersezione tra la circonferenza e' la retta (generica) (usando la ridotta)

[math] x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9-1-k^2} = -3 \pm \sqrt{8-k^2} [/math]

Pertanto i punti saranno

[math] A \( -3- \sqrt{8-k^2} , k \) \ \ \ \ \ B \( -3+ \sqrt{8-k^2} , k \) [/math]

trattandosi di due punti con stessa ordinata, la loro distanza sara' data dalla differenza delle ascisse, ovvero

[math] \bar{AB} = -3- \sqrt{8-k^2} - \( -3+ \sqrt{8-k^2}\) = -2 \(\sqrt{8-k^2} \) =- 2 \sqrt{8-k^2} [/math]

i punti di intersezione esisteranno per

[math] -2 \sqrt2 \le k \le 2 \sqrt2 [/math]

ovvero quando il radicando e' maggiore o uguale a zero.

Secondo sistema:

[math] \{y=k \\ x^2+y^2-10x-10y+37=0 [/math]

Ovvero

[math] x^2+k^2-10x-10k+37=0 \to x^2-10x+k^2-10k+37=0 [/math]

soluzioni

[math] x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25-k^2+10k-37} = 5 \pm \sqrt{-k^2+10k-12} [/math]

da cui

[math] C \( 5 - \sqrt{-k^2+10k-12} , k \) \ \ \ \ D \(5 + \sqrt{-k^2+10k-12} , k \) [/math]

distanza

[math] \bar{CD} = -2 \sqrt{-k^2+10k-12} [/math]

che ha significato (cosi' come le ascisse dei punti sopra) se

[math] -k^2+10k-12 \ge 0 \to k^2-10k+12 \le 0 [/math]

risolvendo l'equazione

[math] k_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25-12} = 5 \pm \sqrt{13} [/math]

quindi soluzione della disequazione

[math] 5- \sqrt{13} \le k \le 5+ \sqrt13 [/math]

Vogliamo che le distanze siano uguali, quindi

[math] \bar{AB} = \bar{CD} \to =- 2 \sqrt{8-k^2} = -2 \sqrt{-k^2+10k-12} [/math]

quindi

[math] 8-k^2 = -k^2+10k-12 \to 10k=20 \to k=2 [/math]

la retta y=2 interseca tutte e due le circonferenze perche' k=2 e' compreso in entrambi i campi di esistenza delle due radici.

Aggiunto 54 minuti più tardi:

Le tue soluzioni comunque non hanno molto senso :D