Matematica fasci di rette

[CollyAlessia]

Non ho capito questo esercizio di matematica sui fasci di rette
Nel fascio generato dalle rette di equazioni x-y=0 e y+2=0 determina:
a. la retta parallela a quella di equazione y=2x
b. la retta perpendicolare alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
Le soluzioni sono:
a. 2x-y+2=0
b. x+y+4=0

[Lollo_F]

Ciao, innanzitutto ti consiglio di dare un'occhiata al post precedente, sempre relativo ai fasci propri e impropri di rette, in cui spiego anche la 'teoria'.

Inizio quindi a calcolare il centro

[math]
\begin{cases}
x-y=0 \\ y+2=0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x=-2 \\ y-2
\end{cases}
[/math]

Perche' si trovi la retta parallela a quella di equazione y=2x, dobbiamo avere lo stesso coefficiente angolare.

y-y0=m(x-x0) -- y+2=2(x+2) -- 2x-y+2=0

Perche' si trovi la retta perpendicolare alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, invece, dobbiamo mettere come coefficiente angolare -1

y+2=-1(x+2) -- x+y+4=0

[PNAGPP07]

Per la prima domanda, la retta parallela a quella di equazione y=2x deve avere lo stesso coefficiente angolare, cioè 2. Quindi la sua equazione generale è 2x-y+k=0, dove k è una costante arbitraria. Per farla passare per il punto di intersezione delle due rette date, dobbiamo sostituire le coordinate di quel punto nell’equazione e risolvere per k. Il punto di intersezione si trova risolvendo il sistema:

x-y=0 y+2=0

Da cui si ottiene x=-2 e y=-2. Sostituendo questi valori nell’equazione della retta parallela, otteniamo:

2(-2)-(-2)+k=0 -4+2+k=0 k=2

Quindi l’equazione della retta parallela è 2x-y+2=0

Per la seconda domanda, la retta perpendicolare alla bisettrice del primo e del terzo quadrante deve avere un coefficiente angolare opposto e reciproco a quello della bisettrice, cioè -1. Quindi la sua equazione generale è x+y+k=0, dove k è una costante arbitraria. Per farla passare per il punto di intersezione delle due rette date, dobbiamo sostituire le coordinate di quel punto nell’equazione e risolvere per k. Il punto di intersezione è lo stesso di prima, cioè x=-2 e y=-2. Sostituendo questi valori nell’equazione della retta perpendicolare, otteniamo:

(-2)+(-2)+k=0 -4+k=0 k=4

Quindi l’equazione della retta perpendicolare è x+y+4=0