Matematica - Due Limiti

[fra17]

ciao a tutti. nn riesco a risolvere questi due esercizi. mi aiutate???

lim {(rad cubica di x)+1)}/(x+1) =?
x->-1

lim (1-cosx)/log (1+x) =?
x->0

[plum]

[math]\frac{\sqrt[3]x+1}{x+1}=\frac{\sqrt[3]x+1}{(\sqrt[3]x+1)(\sqrt[3]x^2-\sqrt[3]x+1)}[/math]

poichè stai vedendo cosa succede per x che tende a -1, ma che non è -1, puoi semplificare:

[math]\frac{\sqrt[3]x+1}{(\sqrt[3]x+1)(\sqrt[3]x^2-\sqrt[3]x+1)}=\frac1{\sqrt[3]x^2-\sqrt[3]x+1}[/math]

e quindi

[math]\lim_{x\to-1}\frac1{\sqrt[3]x^2-\sqrt[3]x+1}=\frac1{1-(-1)+1}=\frac13[/math]

[math]\frac{1-\cos x}{ln(1+x)}=\frac{1-\cos x}{ln(1+x)}\times\frac xx=\frac{1-\cos x}x\times\frac x{ln(1+x)}=\frac{1-\cos x}x\times\frac 1{\frac1x(ln(1+x))}=[/math]

[math]=\frac{1-\cos x}x\times\frac 1{ln(1+x)^{\frac1x}}[/math]

ricordando il limite notevole

[math]\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e[/math]

e il limite

[math]\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x=0[/math]

ottieni

[math]\lim_{x\to0}\left(\frac{1-\cos x}x\times\frac 1{ln(1+x)^{\frac1x}}\right)=0\cdot\frac1{ln\,e}=0\cdot\frac11=0[/math]