Matematica Discretta...

[a.Smith1]

Avrei due domandi di matematica discreta da porvi:

1) come trovo l'opposto e l'inverso del valore 157 nell'insieme quoziente Z7?

2) come trovo le soluzioni intere dell'equzione 293x+31y = 31?

ciao
grazie

ps: come si scrive l'insieme Z7 in MathMl?

[elgiovo]

La seconda è un'equazione diofantea. Il procedimento che conosco per risolverle è piuttosto lungo, ed è accuratamente descritto qui
http://it.geocities.com/vscorsipa/pdf/eqdiof.zip

In alternativa, eccoti un mio programma Java per risolverle rapidamente:

class EquazioneDiofantea{
	private double a,b,c;

	public EquazioneDiofantea(double a, double b, double c){
		this.a=a;
		this.b=b;
		this.c=c;
	}

	public void risolviti(){
		EquazioneDiofantea eq;
		double maggiore, y;
		int i;
		eq=new EquazioneDiofantea(a,b,c);
		if (a>b) maggiore=a;
		else maggiore=b;
		for(i=0; i<=(int)((double)c/(double)maggiore); i++){
			y=(c-a*i)/(b);
			if (y==(int)((c-a*i)/(b))) System.out.println(i+", "+(int)y);
		}

	}
}

class TestEquazioneDiofantea{
	public static void main(String args[]){
		ReadStream in;
		double a,b,c;
		EquazioneDiofantea eq;

		in=new ReadStream();
		System.out.println("Inserisci i coefficienti a, b, c dell'equazione diofantea ax + by = c: ");
		a=in.readDouble();
		b=in.readDouble();
		c=in.readDouble();
		eq=new EquazioneDiofantea(a,b,c);
		eq.risolviti();
	}
}

Il programma mi dice che l'unica soluzione è $(0,1)$.

[elgiovo]

Si scrive $ZZ_7$

[TomSawyer1]

1) Prima osservi che $\gcd(157,7)=1$, quindi ha inverso. Ora basta che applichi l'algoritmo di Euclide per risolvere $157t\equiv3t\equiv 1 (mod7)$. Quindi è $5$.

[TomSawyer1]

2) Per dimostrare che $(0,1)$ è l'unica soluzione, si applica l'algoritmo di Euclide in questo modo:
$31=2*14+3=2*(293-9*31)+3=2*293-18*31+31-2*293+18*31=0*293+1*31$.

[a.Smith1]

"Crook":1) Prima osservi che $\gcd(157,7)=1$, quindi ha inverso.

5 è l'opposto .....e l'inverso qual'è?

[TomSawyer1]

$157*5\equiv1(mod7)$, quindi $5+7ZZ$ è l'inverso. L'opposto, eh??