[Matematica] - Coseni direttori delle bisettrici
Buongiorno a tutti.
Ho un problema di matematica da risolvere che però, nonostante le apparenze, è alquanto laborioso da svolgere.
Inserisco qui di seguito il testo:
>
I coseni direttori rappresentano le componenti di un versore. In questo caso quindi dovrei trovare il versore della bisettrice. Come prima cosa ho trovato gli angoli formati dai vettori:
Come posso trovare le bisettrici di tali angoli? Io ho trasformato tutto in coordinate polari, però il risultato della dispensa è espresso in coordinate cartesiane...
RISULTATI
I Bisettrice:
II Bisettrice:
Mi dareste una mano? Grazie.
Ho un problema di matematica da risolvere che però, nonostante le apparenze, è alquanto laborioso da svolgere.
Inserisco qui di seguito il testo:
>
I coseni direttori rappresentano le componenti di un versore. In questo caso quindi dovrei trovare il versore della bisettrice. Come prima cosa ho trovato gli angoli formati dai vettori:
[math]\theta_{1,2} = \arccos{ \frac{\langle u,v \rangle}{||u||||v||} }[/math]
[math]\langle u,v \rangle = (2*1)+(1*3) = 5[/math]
[math]||u|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}[/math]
[math]||v|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}[/math]
[math]\theta_{1,2} = \arccos{ \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10} } = \arccos{ \frac{5}{\sqrt{50}} } = \arccos{ \frac{5}{5\sqrt{2}} } = \arccos{ \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]
[math]\theta_1 = \frac{\pi}{4}[/math]
; [math]\theta_2 = \frac{5}{4}\pi[/math]
Come posso trovare le bisettrici di tali angoli? Io ho trasformato tutto in coordinate polari, però il risultato della dispensa è espresso in coordinate cartesiane...
RISULTATI
I Bisettrice:
[math]\cos\theta_1 = \pm \frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
[math]\cos\theta_2 = \pm \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
II Bisettrice:
[math]\cos\theta_1 = \pm \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
[math]\cos\theta_2 = \pm \frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
Mi dareste una mano? Grazie.
Risposte
Io farei così:
trovo l'angolo polare dei vettori u e v:
Poi, trovo l'angolo del polare della bisettrice come media algebrica degli angoli polari del vettore u e v;
Una volta trovato l'angolo polare della bisettrice per trovare il versore corrispondente a quella direzione, proietto il vettore di norma unitario sugli assi x e y...
trovo l'angolo polare dei vettori u e v:
[math]\theta_u = \arccos \left ( \frac {\vec u \cdot \vec u}{ |u|^2} \right )[/math]
[math]\theta_v = \arccos \left ( \frac {\vec v \cdot \vec v}{ |v|^2} \right )[/math]
Poi, trovo l'angolo del polare della bisettrice come media algebrica degli angoli polari del vettore u e v;
Una volta trovato l'angolo polare della bisettrice per trovare il versore corrispondente a quella direzione, proietto il vettore di norma unitario sugli assi x e y...
Cherubino:
Io farei così:
trovo l'angolo polare dei vettori u e v:
[math]\theta_u = \arccos \left ( \frac {\vec u \cdot \vec u}{ |u|^2} \right )[/math]
[math]\theta_v = \arccos \left ( \frac {\vec v \cdot \vec v}{ |v|^2} \right )[/math]
Poi, trovo l'angolo del polare della bisettrice come media algebrica degli angoli polari del vettore u e v;
Una volta trovato l'angolo polare della bisettrice per trovare il versore corrispondente a quella direzione, proietto il vettore di norma unitario sugli assi x e y...
Ti ringrazio per la risposta, però ho provato anche in quel modo e mi viene un risultato gigantesco espresso in coordinate polari... Ho aggiornato il mio post precedente, dove mostro i risultati che dovrebbero venire. Continuerò a provare, magari ho fatto un semplice errore di calcolo (anche se è la decima volta che provo).
Un altro modo è questo:
poiché trovi che l'angolo tra i due vettori è
la direzione della bisettrice è quella del vettore u ruotato positivamente di
Nel piano, la rotazione di un vettore di un angolo theta si esegue così:
Nel nostro caso quindi,
Una volta che hai ruotato il vettore u, lo normalizzi a 1, e ottieni il versore cercato..
poiché trovi che l'angolo tra i due vettori è
[math]\frac \pi 4[/math]
,la direzione della bisettrice è quella del vettore u ruotato positivamente di
[math]\frac \pi 8[/math]
;Nel piano, la rotazione di un vettore di un angolo theta si esegue così:
[math]\left ( u_x^{\prime}, u_y^{\prime} \right ) = \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{array} \right ) \;
\left (
\begin{array}{c}
u_x\\
u_y \\
\end{array}
\right )
[/math]
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{array} \right ) \;
\left (
\begin{array}{c}
u_x\\
u_y \\
\end{array}
\right )
[/math]
Nel nostro caso quindi,
[math]\theta = \pi/8[/math]
Una volta che hai ruotato il vettore u, lo normalizzi a 1, e ottieni il versore cercato..
se prima normalizzi u e v, poi trovi le bisettrici con la somma vettoriale (regola del parallelogramma). normalizzi nuovamente le bisettrici e col prodotto scalare coi vettori (1,0) e (0,1) trovi esattamente cos(a1) e cos(a2) per ognuno dei 2 vettori
xico87:
se prima normalizzi u e v, poi trovi le bisettrici con la somma vettoriale (regola del parallelogramma). normalizzi nuovamente le bisettrici e col prodotto scalare coi vettori (1,0) e (0,1) trovi esattamente cos(a1) e cos(a2) per ognuno dei 2 vettori
Sei sicuro? Ma la risultante di due vettori è sempre la bisettrice dell'angolo conpreso tra tali vettori? Avevo pensato a questa possibile soluzione, però l'avevo esclusa perché non mi sembrava convincente... Avevo anche provato a trovare l'angolo tra i vettori (u e v) e gli assi cartesiani (1,0) e (0,1) e poi sommare il risultato con la metà dell'angolo compreso.. (ma mi veniva un mumero in virgola mobile a 20 cifre)... adesso provo. Grazie mille ad entrambi.
le diagonali di un rombo sono le bisettrici degli angoli. in un parallelogramma che non sia un rombo non vale altrettanto
edit: il trucco sta proprio nella prima normalizzazione
edit: il trucco sta proprio nella prima normalizzazione
Geniale! Hai ragione! Infatti così costruirò un quadrato di lato 1! Il mio problema è l'aver poca intuizione... come vorrei avercela per queste cose... Io mi scervellavo con le coordinate polari, invece...
Grazie ancora.
Grazie ancora.
non mi pare però sia un quadrato quello che ti esce: v e u non sono perpendicolari tra loro, quindi anche dopo al normalizzazione l'angolo tra essi formato sarà diverso da 90°. cmq l'idea è quella del rombo
xico87:
non mi pare però sia un quadrato quello che ti esce: v e u non sono perpendicolari tra loro, quindi anche dopo al normalizzazione l'angolo tra essi formato sarà diverso da 90°. cmq l'idea è quella del rombo
Si giusto, ho sbagliato termine. E' un rombo... infatti prima avevo detto che formano 45°.
ok. se hai risolto e i risultati escono chiudo il thread.
edit: chiuderò in un altro momento visto che per ora non rispondi
edit: chiuderò in un altro momento visto che per ora non rispondi
I risultati purtroppo non mi escono... Qua di seguito scrivo tutto il procedimento che mi hai suggerito...
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1. Trovo il modulo dei vettori
2. Trovo i versori dei vettori
3. Ottengo il vettore bisettrice
4. Trovo il versore della bisettrice:
Se non ho fatto errori di calcolo, direi che i risultati non mi vengono...
>
1. Trovo il modulo dei vettori
[math]\vec u[/math]
e [math]\vec v[/math]
:[math]||\vec u|| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}[/math]
[math]||\vec v|| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}[/math]
2. Trovo i versori dei vettori
[math]\vec u[/math]
e [math]\vec v[/math]
:[math]vers(\vec u) = \frac{\vec u}{||\vec u||} = \frac{(2,1)}{\sqrt{5}} = (\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})[/math]
[math]vers(\vec v) = \frac{\vec v}{||\vec v||} = \frac{(1,3)}{\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})[/math]
3. Ottengo il vettore bisettrice
[math]\vec b[/math]
trovando la risultante dei due versori (diagonale rombo):[math]\vec b = vers(\vec u) + vers(\vec v) = (\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{10}}) =[/math]
[math]= (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{10}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{10}}) = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{50}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{\sqrt{50}}) = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})[/math]
4. Trovo il versore della bisettrice:
[math]vers(\vec b) = \frac{\vec b}{||\vec b||} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})^2}+{(\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})^2}}} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{\frac{9+4\sqrt{2}}{10}+\frac{11+6\sqrt{2}}{10}}} =[/math]
[math]= \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{\frac{20+10\sqrt{2}}{10}}} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})})=[/math]
[math]= (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{10\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{10\sqrt{2}}) = ???[/math]
Se non ho fatto errori di calcolo, direi che i risultati non mi vengono...
ti dimentichi di motliplicare per i vettori (1,0) e (0,1) il vers(b)
xico87:
ti dimentichi di motliplicare per i vettori (1,0) e (0,1) il vers(b)
Questo passaggio non l'ho compreso. Se ho già il versore della bisettrice (che è quello che mi interessa), perché dovrei moltiplicare per i vettori u e v? Cosa servirebbe? E come?
a te interessano le proiezioni della bisettrice, però ora che ci penso basta semplicemente prendere le componenti del vers(b). prova a svolgere i calcoli con una calcolatrice e confronta i risultati che ti mettono coi tuoi, magari si tratta solo di una razionalizzazione diversa. il procedimento è corretto
xico87:
a te interessano le proiezioni della bisettrice, però ora che ci penso basta semplicemente prendere le componenti del vers(b). prova a svolgere i calcoli con una calcolatrice e confronta i risultati che ti mettono coi tuoi, magari si tratta solo di una razionalizzazione diversa. il procedimento è corretto
Appunto... i coseni direttori sono le componenti del versore, perché rappresentano i coseni che formano con gli assi... e in questo caso il versore della bisettrice ce l'ho già...
Non è che avresti la pazienza di controllare i miei calcoli?
EDIT: I valori non corrispondono...
ora non posso che sto per partire. avevo notato pure io che non corrispondono ma non saprei che dirti, magari sono sbagliate le dispense, non è un'ipotesi da scartare
Potresti confrontare i risultati ottenuti con i tre metodi.
Se entrambi i metodi portano allo stesso risultato numerico, la probabilità di avere un errore sistematico in tutti i metodi è molto bassa.
Se entrambi i metodi portano allo stesso risultato numerico, la probabilità di avere un errore sistematico in tutti i metodi è molto bassa.
No, i risultati del professore sono corretti, ma purtroppo non ho scritto i passaggi sul quaderno e adesso che sto riprendendo l'argomento non riesco più a determinarli... ho eseguito i calcoli numerici con la calcolatrice in due dei precedenti metodi e i risultati non solo sono diversi tra loro, ma sono diversi anche dal risultato "ufficiale" (il che è ancor più misterioso).
fai una cosa: mi viene il dubbio che l'angolo non sia quello. prova a vedere che angolo ti esce dai risultati delle dispense e vedi se effettivamente è a metà tra i due vettori (per calcolare gli angoli che i vettori formano con l'asse x basta che usi l'arcotangente)
xico87:
fai una cosa: mi viene il dubbio che l'angolo non sia quello. prova a vedere che angolo ti esce dai risultati delle dispense e vedi se effettivamente è a metà tra i due vettori (per calcolare gli angoli che i vettori formano con l'asse x basta che usi l'arcotangente)
Sì, un attimo che lo calcolo... Non devo utilizzare l'arcocoseno? L'arcotangente non credo mi interessi adesso.
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