Mate (5916)

[indovina]

ho provato di tutto ma sto ex nn mi viene proprio:


SEN X + COS X =2 RADICAL 2 SEN X COS X

Potete dirmi almeno voi come si fa?

[ciampax]

L'equazione è simmetrica in seno e coseno. Puoi risolverla con la sostituzione

[math]x=\frac{\pi}{4}+y[/math]

In questo modo

[math]\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y+\cos y)\qquad \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos y-\sin y)[/math]

quindi l'equazione diventa

[math]\sqrt{2}\cos y=\sqrt{2}(\cos^2 y-\sin^2 y)[/math]

e infine

[math]2\cos^2 y-\cos y-1=0[/math]

Posto

[math]t=\cos y[/math]

si ha

[math]2t^2-1-1=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]t=1, t=-1/2[/math]

. A questo punto abbiamo

[math]\cos y=1\Rightarrow y=2k\pi[/math]

[math]\cos y=-1/2\Rightarrow y=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/math]

e quindi le soluzioni

[math]x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\quad x=\frac{11\pi}{12}+2k\pi,\quad x=-\frac{5\pi}{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}[/math]

[pukketta]

kiudo!