Massimo e minimo sui triangoli

[Irrational]

Il mio problema è che non ho idea di come risolvere problemi di massimo e minimo trigonometrici, ad esempio:
"di tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual'è quello in cui è massima l'altezza relativa all'ipotenusa?"

il mio approccio: chiamati i cateti "$a$" e "$b$", l'altezza relativa all'ipotenusa "$h$", l'ipotenusa "$i$" e l'angolo compreso tra il cateto "$b$" e l'ipotenusa "$\alpha$", scrivo: $a+b=s$, con $s$ costante.

ora: $h=b*sen\alpha$... e adesso? in tutti i problemi di questo tipo finisco sempre per girare intorno all'equazione giusta da massimizzare, cioè potrei fare altre 100 sostituzioni a quella roba e cambiare la relazione quanto voglio, ma qual'è alla fine quella da derivare?

[MaMo2]

Allora. Essendo $a=isinalpha$ e $b=icosalpha$ si ha:

$s=i(sinalpha+cosalpha)->i=s/(sinalpha+cosalpha)$

Perciò la funzione da derivare è:

$h=bsinalpha=isinalphacosalpha=(s*sinalphacosalpha)/(sinalpha+cosalpha)$

[Irrational]

perchè massimizare $h=b*sin\alpha$ non porta al risultato giusto?
cioè, perchè la funzione da massimizzare deve essere proprio $h=(s*sinalphacosalpha)/(sinalpha+cosalpha)$? come faccio ad arrivare ad una cosa se non so a cosa devo arrivare, è esperienza o c'è qualcosa da sapere, come fai a essere sicuro che sia proprio "quella" la funzione da derivare, al 100%?

[MaMo2]

"Irrational":perchè massimizare $h=b*sin\alpha$ non porta al risultato giusto?

No. E' una funzione a due variabili che non tiene conto del vincolo imposto dal problema.

cioè, perchè la funzione da massimizzare deve essere proprio $h=(s*sinalphacosalpha)/(sinalpha+cosalpha)$? come faccio ad arrivare ad una cosa se non so a cosa devo arrivare, è esperienza o c'è qualcosa da sapere, come fai a essere sicuro che sia proprio "quella" la funzione da derivare, al 100%?

Devi ricavare una funzione ad una variabile che includa la condizione di vincolo.
Certo che l'esperienza aiuta.