Massimo di una funzione
Ciao,
$y = x * sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ]$
Ho provato a trovare il massimo di questa funzione e mi risulta:
$x = k/sqrt(3)$
Volevo solo sapere se il risultato è corretto oppure sbaglio da qualche parte.
$y = x * sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ]$
Ho provato a trovare il massimo di questa funzione e mi risulta:
$x = k/sqrt(3)$
Volevo solo sapere se il risultato è corretto oppure sbaglio da qualche parte.
Risposte
Perché al denominatore c'è $sqrt(3)$? A me verrebbe con $sqrt(2)$...
Non so forse sbaglio nel calcolo della derivata:
Applico: $y' = f '(x) * g(x) + f(x) * g '(x)$
$f(x) = sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] $
$g(x) = x $
$f'(x) = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) $
$g'(x) = 1$
e mi risulta:
$y' = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) * x + sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] * 1$
che risolta da come massimo $k/sqrt(3)$
Applico: $y' = f '(x) * g(x) + f(x) * g '(x)$
$f(x) = sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] $
$g(x) = x $
$f'(x) = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) $
$g'(x) = 1$
e mi risulta:
$y' = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) * x + sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] * 1$
che risolta da come massimo $k/sqrt(3)$
$f(x) = sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] $
$g(x) = x $
$f'(x) = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) $ (((ok qui sbaglio è "-x" non "-2x")))
$g'(x) = 1$
quindi...
$y' = -x^2 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } + sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] * 1$
$y' = -x^2 + k^2 - x^2 = -2x^2 + k^2$
$y' = 0$
$x = k/sqrt(2)$
$g(x) = x $
$f'(x) = 1 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } * (-2x) $ (((ok qui sbaglio è "-x" non "-2x")))
$g'(x) = 1$
quindi...
$y' = -x^2 / { 2sqrt[(k^2 - x^2) / 2] } + sqrt[ (k^2 - x^2) / 2 ] * 1$
$y' = -x^2 + k^2 - x^2 = -2x^2 + k^2$
$y' = 0$
$x = k/sqrt(2)$
Grazie è giusto adesso? Ma non c' è un metodo per la verifica?
Metodo per la verifica... sinceramente per i massimi e i minimi non mi ricordo di averne mai visti... di solito si rifanno i calcoli... oppure, se fosse uno studio di funzione, disegnandola ci si accorge a naso se si sta facendo un errore grossolano... ma un $sqrt(2)$ al posto di un $sqrt(3)$ può sfuggire
ho fatto invece la tua derivata e anche a me viene il $sqrt(3)$ che dicevi tu non mi sembra ci siano errori... ma l'ho fatta di fretta la rifaccio...
Ti invito invece a considerare questa cosa che hai tralasciato ma che è importante: la tua equazione finale $y'(x)=0$ essendo di secondo grado in $x$ ha in realtà DUE soluzioni
$x_1=k/sqrt(3)$
$x_2=-k/sqrt(3)$
come fai a essere sicuro che la tua soluzione sia un massimo? riesci a verificare che non sia invece un minimo o un flesso a tangente orizzontale? e la seconda soluzione?
ciao!!
ho fatto invece la tua derivata e anche a me viene il $sqrt(3)$ che dicevi tu non mi sembra ci siano errori... ma l'ho fatta di fretta la rifaccio...
Ti invito invece a considerare questa cosa che hai tralasciato ma che è importante: la tua equazione finale $y'(x)=0$ essendo di secondo grado in $x$ ha in realtà DUE soluzioni
$x_1=k/sqrt(3)$
$x_2=-k/sqrt(3)$
come fai a essere sicuro che la tua soluzione sia un massimo? riesci a verificare che non sia invece un minimo o un flesso a tangente orizzontale? e la seconda soluzione?
ciao!!
L'ho riguardata e a me continua a risultare con $sqrt(2)$. Ho provato anche con un software di calcolo e sembra darmi ragione, comunque posto i passaggi.
\[
y = x\cdot \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}
\] \[
y' = \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}} + x\frac{-x}{2 \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}}
\] Faccio il minimo \[\large
\frac{2\frac{k^2-x^2}{2}-x^2}{2 \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}}
\] A questo punto il denominatore è sempre non-negativo, quindi il segno è deciso dal numeratore. Quindi \[
y' \ge 0 \quad\Rightarrow\quad k^2-x^2-x^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 \le k^2 \quad\Rightarrow\quad x^2 \le \frac{k^2}{2}
\] A questo punto prendiamo i valori interni, cioè \(-\frac{k}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{k}{\sqrt{2}}\) e ci siamo.
Una ulteriore conferma: provando con $k=1$ si ottiene il seguente grafico
Il massimo che ho evidenziato è proprio in corrispondenza di $x = 1/sqrt(2)$.
\[
y = x\cdot \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}
\] \[
y' = \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}} + x\frac{-x}{2 \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}}
\] Faccio il minimo \[\large
\frac{2\frac{k^2-x^2}{2}-x^2}{2 \sqrt{\frac{k^2-x^2}{2}}}
\] A questo punto il denominatore è sempre non-negativo, quindi il segno è deciso dal numeratore. Quindi \[
y' \ge 0 \quad\Rightarrow\quad k^2-x^2-x^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 \le k^2 \quad\Rightarrow\quad x^2 \le \frac{k^2}{2}
\] A questo punto prendiamo i valori interni, cioè \(-\frac{k}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{k}{\sqrt{2}}\) e ci siamo.
Una ulteriore conferma: provando con $k=1$ si ottiene il seguente grafico
Il massimo che ho evidenziato è proprio in corrispondenza di $x = 1/sqrt(2)$.
Si Minomic... avevo fatto di fretta e mal me ne incolse... quel 2 al denominatore nella mia mente spariva! 
Grazie ad entrambi. Mazzari si so che si deve procedere studiando il segno della derivata, ma l' avevo già fatto con l'altro risultato quindi ero certo che era un massimo.
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