Massimizzare una funzione

alessandra.dicarlo
Ciao a tutti!!
Sto risolvendo questo esercizio:
Data una semicirconferenza di diametro $bar(AB)=2r$, determinare il punto $C$ appartenente alla semicirconferenza tale che, detta $D$ la proiezione ortogonale di $C$ su $bar(AB)$, risulti massima la somma $bar(CD)+bar(DB)$ .


Ho indicato con x l'angolo $A hat(B) C$ e ho ragionato sul triangolo rettangolo $ABC$: conoscendo l'ipotenusa si può risalire al cateto $bar(CB)= 2r cosx$.
Ora, essendo $bar(CB)$ l'ipotenusa del triangolo $DBC$, segue $bar(DB)=2r cos^2 x $.
Infine ottengo $bar(CD)=2r cosx sinx$.
Quindi $bar(CD)+bar(DB)= 2r cosx sinx +2r cos^2 x$.
Calcolo la derivata prima e trovo il punto di massimo.
E' corretto il ragionamento? :-D

Risposte
@melia
Il ragionamento è corretto, devi solo aggiungere le limitazioni per l'incognita e determinare il massimo tra gli zeri della derivata prima che cadono dentro all'intervallo di variabilità della x.

alessandra.dicarlo
Grazie!

chiaraotta1
Si può anche ragionare così.....
$f(x)=bar(CD)+bar(DB)= 2r cosx sinx +2r cos^2 x$,
con
$0<=x<=pi/2$,
può essere scritta anche come
$f(x)= r(sin2x +cos2x+1)=r[sqrt(2)sin(2x+pi/4)+1]$.
Allora il massimo della funzione si ha quando è massimo $sin(2x+pi/4)$, il che avviene per $2x+pi/4=pi/2->2x=pi/4->x=pi/8$, che cade all'interno dell'intervallo $[0, pi/2]$.

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