MASSIMI, MINIMI, FLESSI, DERIVATE PROBLEMI E GEOMETRIA
Date la circonferenza di equazione x^2+y^2=4 e la retta r di equazione y=mx, siano P il loro punto di intersezione nel primo quadrante e A la proiezione di P sull'asse x. Trova per quale valore di m il triangolo OPA ha area massima .
Risultato :1
Ho provato a leggere e rileggere questo problema ma non saprei da che parte girarmi.. Qualcuno mi aiuta per favore?
Grazie a chi saprà aiutarmi e buona giornata a tutti.
Risultato :1
Ho provato a leggere e rileggere questo problema ma non saprei da che parte girarmi.. Qualcuno mi aiuta per favore?
Grazie a chi saprà aiutarmi e buona giornata a tutti.
Risposte
La circonferenza ha, evidentemente, raggio r=2 e centro in O(0;0). L'equazione y=mx è di un fascio proprio di rette passanti per O(0;0)
La soluzione ha una via brevissima. Sia
L'area del triangolo
Poiché il seno è una funzione limitata nell'intervallo [-1,1], è chiaro che avrà valore massimo quando varrà 1. Perciò:
Tuttavia, credo, l'intento dell'esercizio serva a prendere confidenza con l'impostazione di problemi aventi a che fare con i concetti di massimi e minimi trattati con le derivate. E risolvere come ho fatto poc'anzi non è di aiuto, in questo senso.
Dunque dobbiamo creare una qualche funzione derivabile di una variabile indipendente che esprima l'area del triangolo. Tale ragionamento costituirà un modello utile per problemi simili, visti i dati elementari (centro nell'origine, raggio 2 ecc). Possiamo ragionare come segue:
Il punto P appartiene al fascio di rette. Dunque avrà coordinate generiche P(x, mx). Ma tale puntoP appartiene anche alla circonferenza. Posso esprimere l'ordinata esplicitando l'equazione data in funzione di x:
scartando la radice col segno meno davanti perché si riferisce, ovviamente, all'arco presente nel III quadrante.
Ad ogni modo qui va messo un limite, ossia che x deve essere compreso nell'intervallo [0,1]. Un'analisi un po' più rigorosa dovrebbe spingermi a constatare che il punto B(0,1) appartiene sicuramente alla circonferenza, ma non può essere rappresentato dall'equazione y=mx. Perché i punti del piano siano tutti rappresentati, dovrei anche inserire l'equazione x=0. Tuttavia, questa considerazione può essere anche limitata constatando che il problema si presenta simmetrico rispetto alla bisettrice y=x, e considerare solo gli angoli compresi tra 0 e
Ricapitolando:
Perciò
Deriviamo rispetto a x e imponiamo che sia nulla la derivata prima:
(i calcoli intermedi dovresti farli per esercizio)
Sostituendo nell'equazione della circonferenza il valore
Qui dovremmo sostituire i valori x e y nell'equazione del fascio, per trovare il valore di m. Sennonché basta (in questo problema) che y=x è già soddisfatta. E il fascio di rette mancava di termine noto, per cui passa per l'origine, e dunque questa è l'equazione della bisettrice del I e III quadrante e che dunque m=1
La soluzione ha una via brevissima. Sia
[math]\alpha[/math]
l'angolo che la retta [math]y=mx[/math]
forma con l'asse delle ascisse, tale che [math]0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}[/math]
. Allora il segmento [math]\overline{OA}=2 \cos{\alpha}[/math]
e il segmento [math]\overline{PA}=2 \sin{\alpha}[/math]
.L'area del triangolo
[math]A(\alpha)[/math]
, funzione di [math]\alpha[/math]
, è pari a:[math]A(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot2 \cos{\alpha} \cdot 2 \sin{\alpha}=2\sin{\alpha} \cos{\alpha} = \sin{2\alpha}[/math]
Poiché il seno è una funzione limitata nell'intervallo [-1,1], è chiaro che avrà valore massimo quando varrà 1. Perciò:
[math]\sin{2\alpha}=1 \, per \, 2\alpha=\pi/2 \Longleftrightarrow \alpha=\pi/4[/math]
. Quindi [math]m=\tan{\frac{\pi}{4}}=1[/math]
Tuttavia, credo, l'intento dell'esercizio serva a prendere confidenza con l'impostazione di problemi aventi a che fare con i concetti di massimi e minimi trattati con le derivate. E risolvere come ho fatto poc'anzi non è di aiuto, in questo senso.
Dunque dobbiamo creare una qualche funzione derivabile di una variabile indipendente che esprima l'area del triangolo. Tale ragionamento costituirà un modello utile per problemi simili, visti i dati elementari (centro nell'origine, raggio 2 ecc). Possiamo ragionare come segue:
Il punto P appartiene al fascio di rette. Dunque avrà coordinate generiche P(x, mx). Ma tale puntoP appartiene anche alla circonferenza. Posso esprimere l'ordinata esplicitando l'equazione data in funzione di x:
[math]y=\sqrt{4-x^2}[/math]
scartando la radice col segno meno davanti perché si riferisce, ovviamente, all'arco presente nel III quadrante.
Ad ogni modo qui va messo un limite, ossia che x deve essere compreso nell'intervallo [0,1]. Un'analisi un po' più rigorosa dovrebbe spingermi a constatare che il punto B(0,1) appartiene sicuramente alla circonferenza, ma non può essere rappresentato dall'equazione y=mx. Perché i punti del piano siano tutti rappresentati, dovrei anche inserire l'equazione x=0. Tuttavia, questa considerazione può essere anche limitata constatando che il problema si presenta simmetrico rispetto alla bisettrice y=x, e considerare solo gli angoli compresi tra 0 e
[math]\pi/4[/math]
Ricapitolando:
[math]P(x,\sqrt{4-x^2}) \Leftrightarrow \overline{OA}=x[/math]
e [math]\overline{PA}=\sqrt{4-x^2} ;\, \forall x \in [\sqrt{2},2][/math]
Perciò
[math]A(x)_{OPA}=\frac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{4-x^2}[/math]
Deriviamo rispetto a x e imponiamo che sia nulla la derivata prima:
(i calcoli intermedi dovresti farli per esercizio)
[math]A_{OPA}'(x)=0 \Longleftrightarrow 2-x^2=0 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}[/math]
Sostituendo nell'equazione della circonferenza il valore
[math]x=\sqrt{2}[/math]
si ha: [math]y=\sqrt{2}[/math]
Qui dovremmo sostituire i valori x e y nell'equazione del fascio, per trovare il valore di m. Sennonché basta (in questo problema) che y=x è già soddisfatta. E il fascio di rette mancava di termine noto, per cui passa per l'origine, e dunque questa è l'equazione della bisettrice del I e III quadrante e che dunque m=1
Ora ho capito.. Senza un aiuto non ci sarei mai arrivata, grazie mille
Figurati, ne sono lieto. Tuttavia mi premeva aggiungere che sarebbe meglio, oltre che alle domande, postare anche un tentativo di risoluzione. In questo modo chi è in procinto di dare una mano potrà focalizzare l'aiuto proprio verso quelle parti che interessano maggiormente. Nel tuo caso mi ha aiutato il titolo, altrimenti la seconda parte non credo mi sarebbe venuto in mente di scriverla.
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