Massimi e minimi in una funzione
Salve, giorno 30 ho la prova orale e ho deciso di portare lo studio dei Max e Min. Praticamente diciamo che me la cavo ma non so che dire a livello orale, qualcuno può aiutarmi a preparare una piccola tesina giusto per far vedere al prof (tra l'altro esterno) che so dire anche qualcosa sull' argomento?
Risposte
ciao e ben venuto, l'argomento non è che sia molto approfondibile, su wikipedia c'è qualcosa prova a dare un'occhiata.
le funzioni trigonometriche potrebbero essere un po interessanti.
le funzioni trigonometriche potrebbero essere un po interessanti.
1. illustra il problema, fai capire cosa sono i max min in maniera qualitativa, fai capire che si vuol fare
2. fai la differenza tra max/minimi locali e assoluti sempre a parole in maniera qualitativa
3. dai le definizioni matemtiche di max e minimo
4. illustra tutti i teoremi che risultano utili per la ricerca de i punti stazionari Fermat, Rolle...
5. in appendice un esempio
in bocca al lupo
2. fai la differenza tra max/minimi locali e assoluti sempre a parole in maniera qualitativa
3. dai le definizioni matemtiche di max e minimo
4. illustra tutti i teoremi che risultano utili per la ricerca de i punti stazionari Fermat, Rolle...
5. in appendice un esempio
in bocca al lupo
"mgbyte":
Salve, giorno 30 ho la prova orale e ho deciso di portare lo studio dei Max e Min. Praticamente diciamo che me la cavo ma non so che dire a livello orale, qualcuno può aiutarmi a preparare una piccola tesina giusto per far vedere al prof (tra l'altro esterno) che so dire anche qualcosa sull' argomento?
Ti faccio una domanda che farei io se fossi commissario all'esame:
trova il min della funzione
$f(x)=4(x-3)^2$
sarebbe (3;0)
E SE LA MIA SPIEGAZIONE FOSSE LA SEGUENTE ANDREBBE BENE?
Si calcola la derivata della funzione y' (fx) , la si pone = 0 e si trovano i valori che la annullano .
Esempio:
Dopo aver trovato x1 e x2 calcoliamo la y'' (fx) e sostituiamo in essa proprio gli zeri trovati che annullano y’(fx) e cioè x1 e x2:
y'' (x1 ) a questo punto se: y'' (x1 )>0 sarà ascissa di MIN;se y'' (x1 )<0 sarà ascissa di MAX
y'' (x2 ) a questo punto se: y'' (x2 )>0 sarà ascissa di MIN;se y'' (x2 )<0 sarà ascissa di MAX
Sequenzialmente bisogna calcolare le coordinate di MIN e MAX, cioè bisogna sostituire le x1 e x2 nella funzione di partenza per trovare come abbiamo detto le ordinate.
Si calcola la derivata della funzione y' (fx) , la si pone = 0 e si trovano i valori che la annullano .
Esempio:
Dopo aver trovato x1 e x2 calcoliamo la y'' (fx) e sostituiamo in essa proprio gli zeri trovati che annullano y’(fx) e cioè x1 e x2:
y'' (x1 ) a questo punto se: y'' (x1 )>0 sarà ascissa di MIN;se y'' (x1 )<0 sarà ascissa di MAX
y'' (x2 ) a questo punto se: y'' (x2 )>0 sarà ascissa di MIN;se y'' (x2 )<0 sarà ascissa di MAX
Sequenzialmente bisogna calcolare le coordinate di MIN e MAX, cioè bisogna sostituire le x1 e x2 nella funzione di partenza per trovare come abbiamo detto le ordinate.
e se $y'' (x_i)=0?$
quello che hai enunciato è una parte del teorema delle derivate successive, manca la parte relativa l fatto che la derivata seconda si annulli nello stesso posto della derivata prima, come $y=(x-2)^4$ o $y=(x-2)^5$
quello che hai enunciato è una parte del teorema delle derivate successive, manca la parte relativa l fatto che la derivata seconda si annulli nello stesso posto della derivata prima, come $y=(x-2)^4$ o $y=(x-2)^5$
ma senza fare questo..calcoli la derivata prima,e studi il segno.. e vedi se c'è un massimo e un minimo.. esempio:
$f(x)=4(x-3)^2$
La derivata darà $f'(x)=8(x-3)$
Studiamo il segno:
$f'(x)>0$ quando $x>3$ quindi,fai lo studio dei segni,vedi che la funzione derivata scende quando $x<3$, si annulla in $x=3$ e sale in $x>3$. quindi in $x=3$ hai un minimo
$f(x)=4(x-3)^2$
La derivata darà $f'(x)=8(x-3)$
Studiamo il segno:
$f'(x)>0$ quando $x>3$ quindi,fai lo studio dei segni,vedi che la funzione derivata scende quando $x<3$, si annulla in $x=3$ e sale in $x>3$. quindi in $x=3$ hai un minimo
Due strade alternative che non scomodano l'analisi.
1) La funzione indicata è un polinomio di secondo grado per cui è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y. Sviluppando i calcoli si riporta la parabola in forma canonica e osservando che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo si conclude che la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi il punto di minimo è rappresentato dal vertice che si calcola con le formulette note dalla fin seconda superiore.
2) La funzione indicata è un quadrato e quindi è sempre non negativa. Di conseguenza il minimo valore sarà $0$ che si ottiene quando la base del quadrato si annulla, ovvero per $x=3$ (tutti concetti noti fin dalla prima superiore).
Credo che un commissario storca un po' il naso a veder risolvere con gli strumenti dell'analisi un problema che può essere risolto per via elementare.
In bocca al lupo per lunedì!
1) La funzione indicata è un polinomio di secondo grado per cui è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y. Sviluppando i calcoli si riporta la parabola in forma canonica e osservando che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo si conclude che la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi il punto di minimo è rappresentato dal vertice che si calcola con le formulette note dalla fin seconda superiore.
2) La funzione indicata è un quadrato e quindi è sempre non negativa. Di conseguenza il minimo valore sarà $0$ che si ottiene quando la base del quadrato si annulla, ovvero per $x=3$ (tutti concetti noti fin dalla prima superiore).
Credo che un commissario storca un po' il naso a veder risolvere con gli strumenti dell'analisi un problema che può essere risolto per via elementare.
In bocca al lupo per lunedì!
"kekko89":
ma senza fare questo..calcoli la derivata prima,e studi il segno.. e vedi se c'è un massimo e un minimo.. esempio:
$f(x)=4(x-3)^2$
La derivata darà $f'(x)=8(x-3)$
Studiamo il segno:
$f'(x)>0$ quando $x>3$ quindi,fai lo studio dei segni,vedi che la funzione derivata scende quando $x<3$, si annulla in $x=3$ e sale in $x>3$. quindi in $x=3$ hai un minimo
Troppi calcoli.
La funzione $f$ è $\geq 0$ e si annulla in $x=3$ che quindi è il punto
di minimo assoluto.
Macché derivate!
"Cozza Taddeo":
Due strade alternative che non scomodano l'analisi.
1) La funzione indicata è un polinomio di secondo grado per cui è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y. Sviluppando i calcoli si riporta la parabola in forma canonica e osservando che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo si conclude che la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi il punto di minimo è rappresentato dal vertice che si calcola con le formulette note dalla fin seconda superiore.
2) La funzione indicata è un quadrato e quindi è sempre non negativa. Di conseguenza il minimo valore sarà $0$ che si ottiene quando la base del quadrato si annulla, ovvero per $x=3$ (tutti concetti noti fin dalla prima superiore).
Credo che un commissario storca un po' il naso a veder risolvere con gli strumenti dell'analisi un problema che può essere risolto per via elementare.
In bocca al lupo per lunedì!
Bè, se uno deriva alla cieca secondo me sbaglia.
La scuola dovrebbe insegnare a ragionare, mentre
secondo me si perde troppo tempo all'"addestramento"
(cioè nei calcoli senza sapere bene cosa si stia facendo..)
"franced":
[quote="kekko89"]ma senza fare questo..calcoli la derivata prima,e studi il segno.. e vedi se c'è un massimo e un minimo.. esempio:
$f(x)=4(x-3)^2$
La derivata darà $f'(x)=8(x-3)$
Studiamo il segno:
$f'(x)>0$ quando $x>3$ quindi,fai lo studio dei segni,vedi che la funzione derivata scende quando $x<3$, si annulla in $x=3$ e sale in $x>3$. quindi in $x=3$ hai un minimo
Troppi calcoli.
La funzione $f$ è $\geq 0$ e si annulla in $x=3$ che quindi è il punto
di minimo assoluto.
Macché derivate![/quote]
in questo caso si,ma ho postato il procedimento generale,che penso gli sia più utile
"kekko89":
in questo caso si,ma ho postato il procedimento generale,che penso gli sia più utile
Utile sicuramente per esercizi standard dove bisogna fare per forza un sacco
di calcoli.
Altro esercizietto:
calcola il punto di massimo della funzione
$f(x) = -3(x-5)(x-9)$
$-3(x-5)(x-9)=3(5-x)(x-9)$
Notiamo che la somma di $(5-x)$ e $(x-9)$ è una costante, quindi il prodotto di due fattori la cui somma è costante è massimo quando essi sono uguali (deriva dalla disuguaglianza AM-GM).
Per cui
$5-x=x-9 \implies x=7$
Notiamo che la somma di $(5-x)$ e $(x-9)$ è una costante, quindi il prodotto di due fattori la cui somma è costante è massimo quando essi sono uguali (deriva dalla disuguaglianza AM-GM).
Per cui
$5-x=x-9 \implies x=7$
"Steven":
$-3(x-5)(x-9)=3(5-x)(x-9)$
Notiamo che la somma di $(5-x)$ e $(x-9)$ è una costante, quindi il prodotto di due fattori la cui somma è costante è massimo quando essi sono uguali (deriva dalla disuguaglianza AM-GM).
Per cui
$5-x=x-9 \implies x=7$
Basta guardare la parabola (rivolta verso il basso):
essa interseca l'asse delle $x$ nei punti $x=5$ e $x=9$.
E' ovvio che il vertice si ha per $x=7$.
"franced":
Bè, se uno deriva alla cieca secondo me sbaglia.
La scuola dovrebbe insegnare a ragionare, mentre
secondo me si perde troppo tempo all'"addestramento"
(cioè nei calcoli senza sapere bene cosa si stia facendo..)
Concordo con la tua posizione (non per niente ho indicato quei due metodi di risoluzione) tuttavia ritengo che non sia facile con classi che arrivano anche a quasi trenta persone riuscire a trasmettere con efficacia una completa consapevolezza dei processi che stanno sotto ai procedimenti di calcolo utilizzati.
Nella maggior parte dei casi è già di per sé difficile riuscire a far apprendere il "procedimento standard". Solo pochi studenti riescono a trovare altre strade e quasi nessuno è interessato a capire cosa sta facendo. La maggior parte si accontenta di arrivare al risultato giusto.
Di conseguenza anche i prof. molto spesso adottano una linea di minima resistenza con l'obiettivo di far conseguire al maggior numero di persone delle competenze "standard" utili a scopi applicativi (e per superare l'esame di maturità).
Ai pochissimi altri che si dimostrano interessati ad approfondire la materia non resta che arrangiarsi per i fatti propri o attendere di iscriversi a matematica o fisica all'Università...
"Cozza Taddeo":
[quote="franced"]
Bè, se uno deriva alla cieca secondo me sbaglia.
La scuola dovrebbe insegnare a ragionare, mentre
secondo me si perde troppo tempo all'"addestramento"
(cioè nei calcoli senza sapere bene cosa si stia facendo..)
Concordo con la tua posizione (non per niente ho indicato quei due metodi di risoluzione) tuttavia ritengo che non sia facile con classi che arrivano anche a quasi trenta persone riuscire a trasmettere con efficacia una completa consapevolezza dei processi che stanno sotto ai procedimenti di calcolo utilizzati.
Nella maggior parte dei casi è già di per sé difficile riuscire a far apprendere il "procedimento standard". Solo pochi studenti riescono a trovare altre strade e quasi nessuno è interessato a capire cosa sta facendo. La maggior parte si accontenta di arrivare al risultato giusto.
Di conseguenza anche i prof. molto spesso adottano una linea di minima resistenza con l'obiettivo di far conseguire al maggior numero di persone delle competenze "standard" utili a scopi applicativi (e per superare l'esame di maturità).
Ai pochissimi altri che si dimostrano interessati ad approfondire la materia non resta che arrangiarsi per i fatti propri o attendere di iscriversi a matematica o fisica all'Università...[/quote]
Qui non si tratta di essere interessati o meno, ma di capire che si tratta di una parabola
e che quindi il vertice si trova nel mezzo alle due radici.
Francamente non ci trovo niente di difficile e uno studente medio di liceo dovrebbe
accorgersi da solo di ciò.
"franced":
Qui non si tratta di essere interessati o meno, ma di capire che si tratta di una parabola
e che quindi il vertice si trova nel mezzo alle due radici.
Francamente non ci trovo niente di difficile e uno studente medio di liceo dovrebbe
accorgersi da solo di ciò.
Sono perfettamente d'accordo con te.
La mia sensazione però è che lo studente medio di liceo non si accorge da solo di ciò. E' già molto se si rende conto che è una parabola e che quindi non ha bisogno dell'analisi per trovare il massimo/minimo.
Ripeto: descrivo una situazione, non sostengo che sia una buona situazione.
"Cozza Taddeo":
[quote="franced"]
Qui non si tratta di essere interessati o meno, ma di capire che si tratta di una parabola
e che quindi il vertice si trova nel mezzo alle due radici.
Francamente non ci trovo niente di difficile e uno studente medio di liceo dovrebbe
accorgersi da solo di ciò.
Sono perfettamente d'accordo con te.
La mia sensazione però è che lo studente medio di liceo non si accorge da solo di ciò. E' già molto se si rende conto che è una parabola e che quindi non ha bisogno dell'analisi per trovare il massimo/minimo.
Ripeto: descrivo una situazione, non sostengo che sia una buona situazione.[/quote]
Putroppo, sono d'accordo con Taddeo .
"Camillo":
[quote="Cozza Taddeo"][quote="franced"]
Qui non si tratta di essere interessati o meno, ma di capire che si tratta di una parabola
e che quindi il vertice si trova nel mezzo alle due radici.
Francamente non ci trovo niente di difficile e uno studente medio di liceo dovrebbe
accorgersi da solo di ciò.
Sono perfettamente d'accordo con te.
La mia sensazione però è che lo studente medio di liceo non si accorge da solo di ciò. E' già molto se si rende conto che è una parabola e che quindi non ha bisogno dell'analisi per trovare il massimo/minimo.
Ripeto: descrivo una situazione, non sostengo che sia una buona situazione.[/quote]
Putroppo, sono d'accordo con Taddeo .[/quote]
Mettiamola così:
minimizzare la funzione $f(x)=(x-8)(x-12)$
facendo i calcoli uno trova $x=10$.
Poi fa un altro esercizio del tipo
minimizzare la funzione $g(x)=(x-4)(x-10)$
facendo i calcoli uno trova $x=7$.
A nessuno, secondo voi, viene il dubbio che sia sempre
la media aritmetica delle radici?
"franced":
Mettiamola così:
minimizzare la funzione $f(x)=(x-8)(x-12)$
facendo i calcoli uno trova $x=10$.
Poi fa un altro esercizio del tipo
minimizzare la funzione $g(x)=(x-4)(x-10)$
facendo i calcoli uno trova $x=7$.
A nessuno, secondo voi, viene il dubbio che sia sempre
la media aritmetica delle radici?
Secondo me, senza nessun tipo di indicazioni, credo che meno del 50% degli studenti di liceo scientifico ci arriverebbe da solo.
Quello che voglio dire è che, al di là della singola tipologia di esercizi, la pecca piú grave dell'insegnamento della matematica alle superiori è che gli studenti non vengono allenati a trovare generalizzazioni o strade alternative per risolvere un esercizio, ma ci si accontenta quando lo studente conosce almeno una strada.
Il motivo di ciò è che anche molti studenti di liceo scientifico pur avendo una discreta predisposizione per la matematica risultano insofferente alla materia per varie ragioni:
- il suo apprendimento richiede un'attività di studio piú continuativa rispetto ad altre materie;
- ogni argomento svolto presuppone (piú o meno) l'apprendimento degli argomenti precedenti;
- richiede uno studio molto piú ragionato della maggior parte di altre materie;
- non dà soddisfazioni a breve termine, nel senso che prima di padroneggiare con un minimo di familiarità un determinato argomento si deve aver impiegato una discreta quantità di tempo nello studio della teoria e nell'esecuzione di svariati esercizi, mentre, ad esempio, una poesia di Neruda si può godere, almeno ad un primo livello superficiale, in modo immediato;
- quando si commette un errore questo è evidente e innegabile molto piú che nelle materie umanistiche dove c'è sempre spazio per la discussione il che crea un disagio psicologico;
- l'esecuzione degli esercizi mette alla prova le capacità personali e l'efficacia dello studio dello studente e questo risulta spesso frustrante poiché può comunicare un senso di sfiducia o di rabbia che sfocia in un rifiuto irrazionale della materia ("è inutile che la studio perché tanto non ci capisco niente");
- con le nuove tecnologie gli studenti stanno perdendo la capacità di rimanere concentrati per periodi di tempo prolungati o, piú semplicemente, stanno perdendo la capacità e la volontà di dedicare ore del loro tempo ad un singolo problema o ad una singola questione, pratica che in matematica è fondamentale.
Non parliamo delle altre scuole dove la situazione in moltissimi casi rasenta l'analfabetismo matematico (quando ci sono i periodi di circolazione a targhe alterne i quotidiani specificano che nei giorni dispari possono circolare solo le auto con targa che termina con un numero dispari mentre nei giorni pari possono circolare solo le auto con targa che termina con un numero pari o con zero
...quando lo lessi la prima volta non ci potevo credere...)La maggior parte dei prof. si trova a dover insegnare matematica contro una corrente opposta molto forte. Nella stragrande maggioranza dei casi ciò conduce ad un progressivo abbassamento del livello richiesto mentre in altre situazioni la frustrazione porta l'insegnante a vessare gli studenti in modo esagerato ed irrazionale contribuendo a diffondere un'idea della matematica come di una materia assurda e sostanzialmente incomprensibile.
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