Massime di una funzione
Salve ragazzi..
MI servrebbe una mano per capire come si trovano i punti di massima di una funzione di terzo grado(es y=x^3-x), però senza usare le derivate.
MI servrebbe una mano per capire come si trovano i punti di massima di una funzione di terzo grado(es y=x^3-x), però senza usare le derivate.
Risposte
Bhè e perchè senza le derivate?
Poi devi specificare almeno in che intervallo devi trovare il massimo!
Comunque se non sbaglio la funzione scritta da te è strettamente crescente su tutto $RR$ quindi in un qualsiasi intervallo $[a,b]$ il massimo è $b$.
Poi devi specificare almeno in che intervallo devi trovare il massimo!
Comunque se non sbaglio la funzione scritta da te è strettamente crescente su tutto $RR$ quindi in un qualsiasi intervallo $[a,b]$ il massimo è $b$.
No, non è crescente su tutto R , ma ha un max relativo in $ x = -sqrt(3)/3 $ e un minimo relativo in $ x = sqrt(3)/3 $.
Si può fare così per trovare in che intervallo ha il max e il minimo senza far uso delle derivate :
si trovano gli zeri della funzione : $ x^3-x = x(x-1)(x+1) $ che sono $ x= 0 , x = 1 , x = -1 $ ; poi si calcola il limite per x che tende a $ +oo$ e scrivendo la funzione come $x(x^2-1) $ si vede che tende a $ +oo $ .
Per x che tende a $ -oo $ la funzione tende a $ -oo $ .
Me ttendo assieme tutte queste informazioni e considerando che la funzione è continua si deduce che la funzione avrà un max relativo nell'intervallo [ -1 ,0] e un min relativo nell'intervallo [ 0, 1 ] .
Inoltre la funzione è dispari e quindi se il massimo è per x = -b , il minimo sarà per x = b .
si trovano gli zeri della funzione : $ x^3-x = x(x-1)(x+1) $ che sono $ x= 0 , x = 1 , x = -1 $ ; poi si calcola il limite per x che tende a $ +oo$ e scrivendo la funzione come $x(x^2-1) $ si vede che tende a $ +oo $ .
Per x che tende a $ -oo $ la funzione tende a $ -oo $ .
Me ttendo assieme tutte queste informazioni e considerando che la funzione è continua si deduce che la funzione avrà un max relativo nell'intervallo [ -1 ,0] e un min relativo nell'intervallo [ 0, 1 ] .
Inoltre la funzione è dispari e quindi se il massimo è per x = -b , il minimo sarà per x = b .
"camillo":
No, non è crescente su tutto R , ma ha un max relativo in $ x = -sqrt(3)/3 $ e un minimo relativo in $ x = sqrt(3)/3 $.
ops
ieri sera non ho dormito tutta la notte per risolvere sto stupido questito. l'ho risolto ma in maniera approssimata, (ho approssimato che la parte di x^2-1 del III quadrante sia simmetrica rispetto alla bisettrice, il che non è vero ma mi portava a qualcosa. il processo è un po' lungo, quindi apsetto che tu mi dica che sei interessato a saperlo nonostante l'approssimazione prima di scriverlo.
Bhè non devi neanche chiederlo, postalo! 
1:faccio lo studio sommario che fa camillo e traccio il grafico approssimato della funzione
2:interseco la curva con un facio di rette parallele y=c e noto che alcune rette intersecano la curva in 3 punti distinti, alcune in 1 e le rette tangenti al massimo e al minimo hanno solo 2 intersezioni distinte. quindi voglio trovare questi c. però siccome la funzione è dispari, inizioa trovarmi il massimo poi il minimo è il simmetrico rispetto all'origine.
3: interseco analiticamente grafico e retta e ottengo: x^3-x-c=0 e voglio vedere per quali c questa equazione ha 2 soluzioni distinte
4: divido l'equazione per x perchè tanto x=0 non è soluzione a meno che c non sia = 0, ma dal grafico è evidente che c=0 non è un caso che ci interessa, quindi pongo c diverso da 0 e x diverso da 0 e scivo: x^2-1=c/x
5:ora poichè stiamo cercando la c corrispondente al massimo, notiamo dal disegno che siamo nel caso c>0, quindi disegno su uno stesso grafico x^2-1 e c/x con c/x iperbole rierita agli assi giacente nel I e III quadrante.
6:ora da questo secondo grafico è evidente che nel I quadrante parabola e iperbole hanno sempre 1 intersezione, qualunque sia il valoe di c. tutto dipende da quello che succede nel III quadrante, visto che l'iperbole può non intersecare la parabola, tangerla oppure intersecarla in 2 punti. evidentemente il c che cerco è quello per cui iperbole e parabola siano tangenti, cosìcchè avrei 2 punti distinti di intersezione (uno nel I quadrante e uno doppio nel III)
7: ora viene il momento di approssimare... se faccio finta che la parte di parabola che sta nel III quadrante sia simmetrica rispetto ad y=x, allora il punto di tangenza deve per forza essere il vertice dell'iperbole, ovvero il punto a coordinate negative di intersezione dell'iperbole con y=x che chiamiamo A e che ha coordinate (-sqrt(c), -sqrt(c))
8: a questo punto per trovare c, impongo il passaggio di A per la parabola e quindi sostituisco le coordinate di A in y=x^2-1.
9:riesco a ricondurmi ad un equazione di 2 grado: c^2 - 3c +1 = 0 e trovo 2 valori di c. uno corrisponde al c per cui il vertice del I quadrante appartiene alla parabola, l'altro c è quello per cui ciò avviene nel III quadrante. però dal grafico si capisce che quello del III quadrante (che è quello che interessa a noi) deve essere quello più piccolo che è (3-sqrt5)/2. questo valore ovviamente rappresenta l'ordinata del massimo (ricordo che c inizialmente era la generica retta y=c tangente al massimo).
11: poichè l'ascissa del massimo è la stessa ascissa del punto di tangenza fra iperbole e parabola che ha ascissa -sqrt(c) (come detto prima), allora sarà -sqrt((3-sqrt5)/2)
12: ricapitolando, se M è il massimo e m il minimo:
xM= -sqrt((3-sqrt5)/2)
yM= (3-sqrt5)/2
xm= sqrt((3-sqrt5)/2)
ym= -(3-sqrt5)/2
ho fatto la verifica con la calcolatrice e l'approssimazione mi sembra abbastanza buona, soprattutto per le ordinate. questo è il massimo che sono riuscito a fare. purtroppo ad una soluzione precisa non ci sono arrivato. mi scuso se non si capisce molto bene perchè non ho usato la scirttura matematica blu che usate voi. cosa ne pensate? troppo lungo, complicato, macchinoso, risolvibile in maniera + semplice?
2:interseco la curva con un facio di rette parallele y=c e noto che alcune rette intersecano la curva in 3 punti distinti, alcune in 1 e le rette tangenti al massimo e al minimo hanno solo 2 intersezioni distinte. quindi voglio trovare questi c. però siccome la funzione è dispari, inizioa trovarmi il massimo poi il minimo è il simmetrico rispetto all'origine.
3: interseco analiticamente grafico e retta e ottengo: x^3-x-c=0 e voglio vedere per quali c questa equazione ha 2 soluzioni distinte
4: divido l'equazione per x perchè tanto x=0 non è soluzione a meno che c non sia = 0, ma dal grafico è evidente che c=0 non è un caso che ci interessa, quindi pongo c diverso da 0 e x diverso da 0 e scivo: x^2-1=c/x
5:ora poichè stiamo cercando la c corrispondente al massimo, notiamo dal disegno che siamo nel caso c>0, quindi disegno su uno stesso grafico x^2-1 e c/x con c/x iperbole rierita agli assi giacente nel I e III quadrante.
6:ora da questo secondo grafico è evidente che nel I quadrante parabola e iperbole hanno sempre 1 intersezione, qualunque sia il valoe di c. tutto dipende da quello che succede nel III quadrante, visto che l'iperbole può non intersecare la parabola, tangerla oppure intersecarla in 2 punti. evidentemente il c che cerco è quello per cui iperbole e parabola siano tangenti, cosìcchè avrei 2 punti distinti di intersezione (uno nel I quadrante e uno doppio nel III)
7: ora viene il momento di approssimare... se faccio finta che la parte di parabola che sta nel III quadrante sia simmetrica rispetto ad y=x, allora il punto di tangenza deve per forza essere il vertice dell'iperbole, ovvero il punto a coordinate negative di intersezione dell'iperbole con y=x che chiamiamo A e che ha coordinate (-sqrt(c), -sqrt(c))
8: a questo punto per trovare c, impongo il passaggio di A per la parabola e quindi sostituisco le coordinate di A in y=x^2-1.
9:riesco a ricondurmi ad un equazione di 2 grado: c^2 - 3c +1 = 0 e trovo 2 valori di c. uno corrisponde al c per cui il vertice del I quadrante appartiene alla parabola, l'altro c è quello per cui ciò avviene nel III quadrante. però dal grafico si capisce che quello del III quadrante (che è quello che interessa a noi) deve essere quello più piccolo che è (3-sqrt5)/2. questo valore ovviamente rappresenta l'ordinata del massimo (ricordo che c inizialmente era la generica retta y=c tangente al massimo).
11: poichè l'ascissa del massimo è la stessa ascissa del punto di tangenza fra iperbole e parabola che ha ascissa -sqrt(c) (come detto prima), allora sarà -sqrt((3-sqrt5)/2)
12: ricapitolando, se M è il massimo e m il minimo:
xM= -sqrt((3-sqrt5)/2)
yM= (3-sqrt5)/2
xm= sqrt((3-sqrt5)/2)
ym= -(3-sqrt5)/2
ho fatto la verifica con la calcolatrice e l'approssimazione mi sembra abbastanza buona, soprattutto per le ordinate. questo è il massimo che sono riuscito a fare. purtroppo ad una soluzione precisa non ci sono arrivato. mi scuso se non si capisce molto bene perchè non ho usato la scirttura matematica blu che usate voi. cosa ne pensate? troppo lungo, complicato, macchinoso, risolvibile in maniera + semplice?
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