Luogo geometrico dei punti medi di una circonferenza
Buongiorno. Sono alle prese con un problema interessante, ma che sono incapace di risolvere. Mi dareste un suggerimento per avvicinarmi alla soluzione? Ecco il problema:
Trovare il luogo geometrico dei punti medi delle corde della circonferenza $x^2+y^2-4y-4=0$ sapendo che le rette contenenti tali corde passano per l'origine delle coordinate. (risultato : $x^2+y^2-2y =0$ ).
Ho ragionato in questo modo:
-) le rette secanti passano per 0 , allora sono del tipo $y=mx$
-) le rette secanti devono avere $ Delta>0 $
-) punti medi allora le coordinate delle rette devono avere $ Y = (y1+y2) / 2$ E $ X = ( x1+x2 )/ 2 $
(digressione : come faccio a fare il pedice alle y1 - y2 etc. ?)
Ho messo in sistema la circonferenza data con la retta generica y=mx - volendo trovare m - ma il discriminante è un numero (8), quindi ovviamente le rette valgono per ogni m (intuibile forse, no?).
Devo forse considerare una retta Y = m X (cioè con i punti medi sopra indicati) e sostituirla nella funzione della circonferenza? Ma mi resta il c (cioè -4).
E qui finisce il mio ragionamento.
Vi ringrazio anticipatamente e vi auguro buona giornata.
Trovare il luogo geometrico dei punti medi delle corde della circonferenza $x^2+y^2-4y-4=0$ sapendo che le rette contenenti tali corde passano per l'origine delle coordinate. (risultato : $x^2+y^2-2y =0$ ).
Ho ragionato in questo modo:
-) le rette secanti passano per 0 , allora sono del tipo $y=mx$
-) le rette secanti devono avere $ Delta>0 $
-) punti medi allora le coordinate delle rette devono avere $ Y = (y1+y2) / 2$ E $ X = ( x1+x2 )/ 2 $
(digressione : come faccio a fare il pedice alle y1 - y2 etc. ?)
Ho messo in sistema la circonferenza data con la retta generica y=mx - volendo trovare m - ma il discriminante è un numero (8), quindi ovviamente le rette valgono per ogni m (intuibile forse, no?).
Devo forse considerare una retta Y = m X (cioè con i punti medi sopra indicati) e sostituirla nella funzione della circonferenza? Ma mi resta il c (cioè -4).
E qui finisce il mio ragionamento.
Vi ringrazio anticipatamente e vi auguro buona giornata.
Risposte
Hai il sistema:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 - 4 y -4 =0\\
y=mx
\end{cases}
\]
il quale ha due soluzioni distinte per ogni valore di $m$ (per ovvi motivi geometrici... Fai un disegno!).
Tali soluzioni le puoi calcolare esplicitamente, ma ciò è abbastanza inutile per quel che devi fare.
Infatti, se ricordi bene, in un'equaizone di secondo grado con due radici reali, la quantità $x_1+x_2$ è sempre uguale all'opposto del coefficiente del termine in $x$ diviso per il coefficiente di $x^2$, cioè vale:
\[
x_1, x_2 \text{ risolvono } ax^2+bx +c =0\quad \Rightarrow \quad x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\; ;
\]
dunque, detti \(a(m)\) e \(b(m)\) i coefficienti della risolvente quadratica in $x$ del tuo sistema ed $x_1(m), x_2(m)$ le sue soluzioni ed $y_1(m),y_2(m)$ le soluzioni ad esse associate dalla seconda equazione, hai certamente:
\[
\begin{split}
\frac{x_1(m) + x_2(m)}{2} &= - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
\frac{y_1(m) + y_2(m)}{2} &= \frac{mx_1(m) + mx_2(m)}{2}\\
&=- \frac{m\ b(m)}{2a(m)}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente le coordinate \((x(m), y(m))\) dei punti medi dei segmenti \((x_1(m),y_1(m))\) ed \((x_2(m), y_2(m))\) sono date da:
\[
\begin{cases}
x(m) = - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
y(m) =-m \frac{b(m)}{2a(m)}\; .
\end{cases}
\]
L'equazione del luogo geometrico si ottiene dal sistema:
\[
\begin{cases}
x = - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
y =-m \frac{b(m)}{2a(m)}
\end{cases}
\]
cercando di eliminare il parametro $m$.
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 - 4 y -4 =0\\
y=mx
\end{cases}
\]
il quale ha due soluzioni distinte per ogni valore di $m$ (per ovvi motivi geometrici... Fai un disegno!).
Tali soluzioni le puoi calcolare esplicitamente, ma ciò è abbastanza inutile per quel che devi fare.
Infatti, se ricordi bene, in un'equaizone di secondo grado con due radici reali, la quantità $x_1+x_2$ è sempre uguale all'opposto del coefficiente del termine in $x$ diviso per il coefficiente di $x^2$, cioè vale:
\[
x_1, x_2 \text{ risolvono } ax^2+bx +c =0\quad \Rightarrow \quad x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\; ;
\]
dunque, detti \(a(m)\) e \(b(m)\) i coefficienti della risolvente quadratica in $x$ del tuo sistema ed $x_1(m), x_2(m)$ le sue soluzioni ed $y_1(m),y_2(m)$ le soluzioni ad esse associate dalla seconda equazione, hai certamente:
\[
\begin{split}
\frac{x_1(m) + x_2(m)}{2} &= - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
\frac{y_1(m) + y_2(m)}{2} &= \frac{mx_1(m) + mx_2(m)}{2}\\
&=- \frac{m\ b(m)}{2a(m)}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente le coordinate \((x(m), y(m))\) dei punti medi dei segmenti \((x_1(m),y_1(m))\) ed \((x_2(m), y_2(m))\) sono date da:
\[
\begin{cases}
x(m) = - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
y(m) =-m \frac{b(m)}{2a(m)}\; .
\end{cases}
\]
L'equazione del luogo geometrico si ottiene dal sistema:
\[
\begin{cases}
x = - \frac{b(m)}{2a(m)}\\
y =-m \frac{b(m)}{2a(m)}
\end{cases}
\]
cercando di eliminare il parametro $m$.
Grazie moltissimo per la risposta come sempre molto sollecita. Ora devo studiarla e comprenderla per bene ma lo potrò fare solo domattina. Per ora grazie di nuovo e buonissima serata.
Per usare meno calcoli:
La circonferenza
$x^2+y^2-4y-4=0$
ha il centro in
$C(0,2)$
e interseca l'asse x nei punti
$I_1(-2,0)$
e
$I_2(2,0)$
Prendiamo due di tutte le rette del tipo
$y=mx$
la
$x=0$
cioè l'asse y (è una retta limite, che fa parte della famiglia suddetta se $m=∞$, e la
$y=0$ per $m=0$
cioè l'asse x.
Puoi verificare che entrambe sono secanti la circonferenza. La prima, cioè l'asse y, interseca la circonferenza lungo il diametro verticale, quindi il suo punto medio è il centro della circonferenza
$C(0,2)$
La seconda, l'asse x, la interseca nei punti
$I_1$ e $I_2$
e il suo punto medio è l'origine degli assi.
Per ragioni di simmetria, il luogo che cerchi è la circonferenza di centro
$C_1(0,1)$
e raggio
$R_1=1$
la cui equazione sei in grado di scrivere.
Allego una immagine di una retta secante con
$m=1$
cioè la bisettrice del 1° e 3° quadrante, la
$y=x$
Come vedi il punto medio della corda individuata è
$M(1,1)$
che, ovviamente, appartiene sia alla retta che alla circonferenza luogo geometrico dei punti medi delle corde.
La circonferenza
$x^2+y^2-4y-4=0$
ha il centro in
$C(0,2)$
e interseca l'asse x nei punti
$I_1(-2,0)$
e
$I_2(2,0)$
Prendiamo due di tutte le rette del tipo
$y=mx$
la
$x=0$
cioè l'asse y (è una retta limite, che fa parte della famiglia suddetta se $m=∞$, e la
$y=0$ per $m=0$
cioè l'asse x.
Puoi verificare che entrambe sono secanti la circonferenza. La prima, cioè l'asse y, interseca la circonferenza lungo il diametro verticale, quindi il suo punto medio è il centro della circonferenza
$C(0,2)$
La seconda, l'asse x, la interseca nei punti
$I_1$ e $I_2$
e il suo punto medio è l'origine degli assi.
Per ragioni di simmetria, il luogo che cerchi è la circonferenza di centro
$C_1(0,1)$
e raggio
$R_1=1$
la cui equazione sei in grado di scrivere.
Allego una immagine di una retta secante con
$m=1$
cioè la bisettrice del 1° e 3° quadrante, la
$y=x$
Come vedi il punto medio della corda individuata è
$M(1,1)$
che, ovviamente, appartiene sia alla retta che alla circonferenza luogo geometrico dei punti medi delle corde.
"teorema55":
Con un po' di logica e per usare meno calcoli:
.
.
.
Per ragioni di simmetria, il luogo che cerchi è la circonferenza ....
Vuoi dire che dalla sola simmetria ricavi che il luogo cercato è una circonferenza?
No, ma è un ottimo punto di partenza per orientarsi................e comunque, anche sì, usando un po' di logica e di buon senso. O forse ho sbagliato?
Magari sì, ma non ci arrivo
Magari no.
Non mi pare che usando la geometria analitica i calcoli necessari siano molto complicati. Però la dimostrazione con la sola geometria euclidea è semplicissimo. Se $ O $ è il centro della circonferenza e $ P $ un punto qualsiasi del cerchio (distinto da $ O $ se si vuole evitare il caso degenere), il punto medio di una corda qualsiasi passante per $P $ 'vede' il segmento $ OP $ sotto un angolo retto, e allora il luogo cercato è la circonferenza di diametro $ OP $.
Ciao
Ciao
"teorema55":
E, se proprio qualcuno è scettico....
Mica sono scettico sul risultato... solo non vedo in che modo considerazioni di simmetria possono portare a dire che viene una circonferenza
orsolux
Non mi pare che usando la geometria analitica i calcoli necessari siano molto complicati
Beh, sarò vecchio e rimbambito, ma io ci sto sbattendo la testa da qualche ora complessivamente................
"teorema55":
Beh, sarò vecchio e rimbambito...
Caratteristiche che ci accomunano, credo.
Il sistema:
$ {(x^2+y^2−4y−4=0),(y=mx) :} $ ha per risolvente $ (1+m^2)x^2-4mx-4=0 $.
Osservato che il discriminante è sicuramente positivo, l'ascissa del punto medio è $ x= {2m}/{1+m^2) $ e ricordando che l'obiettivo è eliminare il parametro $ m=y/x $ (com $ x ne 0 $), basta sostituirlo per ottenere $ x={2y/x}/{1+{y^2}/{x^2}} -> x={2xy}/{y^2+x^2}$ che, semplificando per $ x $ è l'equazione cercata. Per finire occorre esaminare i casi in cui $ x=0 $: due corde 'particolari....
Ciao
Grazie a tutti per questi preziosi spunti consigli e dimostrazioni. Buona giornata.
Prima il dovere:
.....che coincidono con il diametro verticale della prima circonferenza, o meglio..........con il limite di $y/x=m$ per $x → 0$ da destra e da sinistra, dove $m →±∞$ , salvo proprio in $x=0$ che è escluso dal C.E., e la corda staccata
dall'asse $x (m=0)$, cioè dalla retta $y=0$.
Poi il piacere:
Vuoi consolarmi? A me non dispiace.........
Da orsoulx
i casi in cui x=0 : due corde 'particolari....
.....che coincidono con il diametro verticale della prima circonferenza, o meglio..........con il limite di $y/x=m$ per $x → 0$ da destra e da sinistra, dove $m →±∞$ , salvo proprio in $x=0$ che è escluso dal C.E., e la corda staccata
dall'asse $x (m=0)$, cioè dalla retta $y=0$.
Poi il piacere:
Da orsoulx
Caratteristiche che ci accomunano, credo.
Vuoi consolarmi? A me non dispiace.........
Riguardando il post di orsoulx, mi pare che il suo ragionamento di geometria analitica sia corretto (infatti l'equazione trovata,
$x^2+y^2 -2y=0$
è proprio quella della circonferenza di centro C(0,1) e diametro d=2) , mentre non lo sia quello di geometria euclidea. In quest'ultimo ci può essere un errore nel nominare i punti, oppure nell'ipotesi, nel ragionamento, o (cosa più probabile) sono io a non capirlo.......
Propendo per l'errore nell'ipotesi.
Infatti, se O è il centro della circonferenza di partenza e P un punto (visto che orso indica P come un punto del CERCHIO) QUALSIASI INTERNO alla circonferenza, il luogo cercato NON è la circonferenza di diametro OP.
Lo è SOLO nel caso che P sia proprio il punto medio di una corda per il quale (mi si perdoni il piccolo sconfinamento analitico) passino TUTTE le rette del tipo
$y=mx$
cioè P sia proprio l'origine degli assi cartesiani.
Basterebbe considerare che la retta
$y=mx$
non viene neppure presa in considerazione nel ragionamento per far sorgere il dubbio. Inoltre, al variare della posizione del punto P, cambiano la posizione e la dimensione della circonferenza di diametro OP che, quindi, non può essere il luogo cercato.
$x^2+y^2 -2y=0$
è proprio quella della circonferenza di centro C(0,1) e diametro d=2) , mentre non lo sia quello di geometria euclidea. In quest'ultimo ci può essere un errore nel nominare i punti, oppure nell'ipotesi, nel ragionamento, o (cosa più probabile) sono io a non capirlo.......
Propendo per l'errore nell'ipotesi.
Infatti, se O è il centro della circonferenza di partenza e P un punto (visto che orso indica P come un punto del CERCHIO) QUALSIASI INTERNO alla circonferenza, il luogo cercato NON è la circonferenza di diametro OP.
Lo è SOLO nel caso che P sia proprio il punto medio di una corda per il quale (mi si perdoni il piccolo sconfinamento analitico) passino TUTTE le rette del tipo
$y=mx$
cioè P sia proprio l'origine degli assi cartesiani.
Basterebbe considerare che la retta
$y=mx$
non viene neppure presa in considerazione nel ragionamento per far sorgere il dubbio. Inoltre, al variare della posizione del punto P, cambiano la posizione e la dimensione della circonferenza di diametro OP che, quindi, non può essere il luogo cercato.
@teorema55
Provo a ridirlo con altre parole:
"orsoulx":
Se $ O $ è il centro della circonferenza e $ P $ un punto qualsiasi del cerchio (distinto da $ O $ se si vuole evitare il caso degenere), il punto medio di una corda qualsiasi passante per $P $ 'vede' il segmento $ OP $ sotto un angolo retto, e allora il luogo cercato è la circonferenza di diametro $ OP $.
Provo a ridirlo con altre parole:
- (1) Ogni segmento che congiunge $ O $ con il punto medio di qualsiasi corda (esclusi i diametri) forma un angolo retto con la corda.[/list:u:1hdw4ni4]
- (2) Disegna la circonferenza con diametro $ OP $. Unisci ogni punto $ Q $ di questa circonferenza con $ O $ e con $ P $.
I segmenti $ OQ $ e $ PQ $ sono perpendicolari tra loro.[/list:u:1hdw4ni4]
- (3) Estendi i segmenti $ PQ $ finché intersecano la circonferenza di centro $ O $: ottieni tutte le corde passanti per $ P $. [/list:u:1hdw4ni4]
- (4) Questo vale per qualsiasi punto $ P $ interno del cerchio. Compresa anche l'origine del sistema di coordinate cartesiane, se vuoi. Ma non è utile mescolare Cartesio con Euclide.[/list:u:1hdw4ni4]
- (5) Una volta scelto $ P $, tienilo fermo.[/list:u:1hdw4ni4]
Bello. Bello e chiaro.
Dunque ogni punto Q è il punto medio di una corda passante per P, per ogni P.
Il luogo geometrico dei punti medi delle corde passanti per P è la circonferenza di diametro OP.
Senza invocare Cartesio, che, come dici, non è utile mescolare con Euclide.
Nel nostro problema, PASSANDO a Cartesio, P è il punto $O(0,0)$, comune a tutte le rette del tipo $y=mx$
Dunque il luogo cercato è, come per ogni P, la circonferenza di diametro OP.
Complimenti.
Dunque ogni punto Q è il punto medio di una corda passante per P, per ogni P.
Il luogo geometrico dei punti medi delle corde passanti per P è la circonferenza di diametro OP.
Senza invocare Cartesio, che, come dici, non è utile mescolare con Euclide.
Nel nostro problema, PASSANDO a Cartesio, P è il punto $O(0,0)$, comune a tutte le rette del tipo $y=mx$
Dunque il luogo cercato è, come per ogni P, la circonferenza di diametro OP.
Complimenti.
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