LUOGO GEOMETRICO
considerare sulla parabola di equazione y = - x2 +6x il punto Q di ascissa x = 3 + t e il punto P di ascissa x = 3-2t; determinare l'equazione del luogo descritto dal punto M, intersezione delle tangenti in P e in Q alla parabola, al variare del parametro t.
nn lo capisco
nn lo capisco
Risposte
praticamente devi solo trovarti quanto vale il punto M (cioe' le coordinate)...
l'unica complicazione e' che dentro l'espressione delle coordinate ti rimarra', probabilmente, il parametro t.
l'unica complicazione e' che dentro l'espressione delle coordinate ti rimarra', probabilmente, il parametro t.
"t_angy90":
considerare sulla parabola di equazione y = - x2 +6x il punto Q di ascissa x = 3 + t e il punto P di ascissa x = 3-2t; determinare l'equazione del luogo descritto dal punto M, intersezione delle tangenti in P e in Q alla parabola, al variare del parametro t.
nn lo capisco
trova innanzitutto le due tangenti nei punti di ascissa $x=3+t$ ed $x=3-2t$
EDIT: non avevo visto le vostre risposte...
La risoluzione che propongo non e' per angy90 ma per chi e'... un po' piu' avanti negli studi.
Siano A e B due insiemi di rette ( del piano) tali che ogni retta di A resti individuata da
un parametro u ed ogni retta di B da un altro parametro v.
Supponiamo inoltre che u e v siano legati da una relazione del tipo :
(1) $auv+bu+cv+d=0$ ,con $ad-bc!=0$
La (1) stabilisce una corrispondenza 1-a-1 tra le rette di A verso quelle di B
e si dimostra che il luogo dei punti che sono intersezione di rette corrispondenti e'
una curva di ordine 1+1=2,ovvero una conica passante per i punti doppi della corrispondenza
medesima (punti che si ottengono ponendo nella (1) u=v).
Nel caso nostro A e B sono rappresentati dalle rette tangenti alla parabola data ,ognuna delle
quali tangenti e' individuata dai parametri $u=3+t$ e $v=3-2t$
Eliminando t si ha la relazione :
(2) $2u+v-9=0$ che e' del tipo (1).
Pertanto,come detto, il luogo richiesto e' una conica passante per i punti doppi della (2).
Ma poiche' e' $a=0$,tali punti doppi sono:
il vertice della parabola data V(3,9) con tangente y=9 ,ottenuto per u=v=3 ed il punto improprio
dell'asse y ,unico punto all'infinito della parabola data,con tangente la retta impropria del piano.
Ne segue che il nostro luogo e' anch'esso una parabola con vertice V(3,9) e tangente y=9 e dunque di equazione :
(3) $y=a(x-3)^2+9$
Per determinare la a si puo' ricorrere a qualche valore particolare di t (diverso da 0).Per esempio
per t=1 si ha u=4 ,v=1 a cui corrispondono i punti (4,8) e (1,5) della parabola data con le
relative tangenti y=-2x+16 e y=4x+1.Tali tangenti si intersecano nel punto (5/2,11) che sostituito nella (3) dà a= 8.In conclusione il luogo richiesto e' la parabola di equazione:
$y=8(x-3)^2+9$
Qualcuno si stara' chiedendo se per un esercizio del genere fosse necessario stò sproloquio.
Ma che volete,a me queste cose piacciono da morire...
karl
Siano A e B due insiemi di rette ( del piano) tali che ogni retta di A resti individuata da
un parametro u ed ogni retta di B da un altro parametro v.
Supponiamo inoltre che u e v siano legati da una relazione del tipo :
(1) $auv+bu+cv+d=0$ ,con $ad-bc!=0$
La (1) stabilisce una corrispondenza 1-a-1 tra le rette di A verso quelle di B
e si dimostra che il luogo dei punti che sono intersezione di rette corrispondenti e'
una curva di ordine 1+1=2,ovvero una conica passante per i punti doppi della corrispondenza
medesima (punti che si ottengono ponendo nella (1) u=v).
Nel caso nostro A e B sono rappresentati dalle rette tangenti alla parabola data ,ognuna delle
quali tangenti e' individuata dai parametri $u=3+t$ e $v=3-2t$
Eliminando t si ha la relazione :
(2) $2u+v-9=0$ che e' del tipo (1).
Pertanto,come detto, il luogo richiesto e' una conica passante per i punti doppi della (2).
Ma poiche' e' $a=0$,tali punti doppi sono:
il vertice della parabola data V(3,9) con tangente y=9 ,ottenuto per u=v=3 ed il punto improprio
dell'asse y ,unico punto all'infinito della parabola data,con tangente la retta impropria del piano.
Ne segue che il nostro luogo e' anch'esso una parabola con vertice V(3,9) e tangente y=9 e dunque di equazione :
(3) $y=a(x-3)^2+9$
Per determinare la a si puo' ricorrere a qualche valore particolare di t (diverso da 0).Per esempio
per t=1 si ha u=4 ,v=1 a cui corrispondono i punti (4,8) e (1,5) della parabola data con le
relative tangenti y=-2x+16 e y=4x+1.Tali tangenti si intersecano nel punto (5/2,11) che sostituito nella (3) dà a= 8.In conclusione il luogo richiesto e' la parabola di equazione:
$y=8(x-3)^2+9$
Qualcuno si stara' chiedendo se per un esercizio del genere fosse necessario stò sproloquio.
Ma che volete,a me queste cose piacciono da morire...
karl
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