Luogo di punti
Sono in alto mare con il seguente problema:
Determinare il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione $y = 37/12$ e passante per $A(0;9/12)$ e il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2+4x+4y-8=0$ e passanti per
$B(2;2)$.
Chiunque decida di aiutarmi godrà della mia più sincera gratiudine!
Determinare il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione $y = 37/12$ e passante per $A(0;9/12)$ e il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2+4x+4y-8=0$ e passanti per
$B(2;2)$.
Chiunque decida di aiutarmi godrà della mia più sincera gratiudine!
Risposte
per il primo prova con la forza bruta e vedi cosa esce fuori di calcolabile:
sistema circonferenza-generica con retta -> delta =0
passagigo per punto
provo a scrivere 2 conti:
x^2+ (37/12)^2 + a x + b (37/12) + c = 0
fai il delta di questa equazione e ponilo =0
spero chiaro
sistema circonferenza-generica con retta -> delta =0
passagigo per punto
provo a scrivere 2 conti:
x^2+ (37/12)^2 + a x + b (37/12) + c = 0
fai il delta di questa equazione e ponilo =0
spero chiaro
per quanto riguarda il secondo ho il presentimento che i conti, senza fare trucchetti, siano molto onerosi, quindi sospetto ci siano dei metodi ad hoc, ma non mi vengono in mente 
Mi viene $a^2-37b - 4c - 37 = 0$. La seconda condizione suppongo che sia il passaggio per il punto A. La terza dovrebbe essere data dal passaggio per il punto di tangenza, giusto? Il fatto è che ne conosco solo l'ordinata, non l'ascissa...?
a) Sia $C$ il centri di una generica circonferenza, si ha $CA=CH$, dove $H$ è la distanza di $C$ dalla retta $y=37/12$. Ma allora il luogo è la parabola di vertice $A$ e di direttrice la retta $y=37/12$.
b) $C(a,b)$ è il centro della circonferenza
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Questa circonferenza è tangente a $x^2+y^2+4x+4y-8=0$ quando $r=C C'-r'$, dove $C'(-2,-2)$ è il centro dell'ultima circonferenza scritta e $r'=4$ il suo raggio.
Pertanto
$(x-a)^2+(y-b)^2=(C C'-4)^2=[sqrt((a+2)^2+(b+2)^2)-4]^2$,
imponendo il passaggio per $B$ si ottiene l'equazione del luogo richiesto:
$(2-a)^2+(2-b)^2=(a+2)^2+(b+2)^2+16-8sqrt((a+2)^2+(b+2)^2)$.
Dopo un po' di conti, salvo errori viene:
$b=2/a$ che è un'iperbole.
b) $C(a,b)$ è il centro della circonferenza
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Questa circonferenza è tangente a $x^2+y^2+4x+4y-8=0$ quando $r=C C'-r'$, dove $C'(-2,-2)$ è il centro dell'ultima circonferenza scritta e $r'=4$ il suo raggio.
Pertanto
$(x-a)^2+(y-b)^2=(C C'-4)^2=[sqrt((a+2)^2+(b+2)^2)-4]^2$,
imponendo il passaggio per $B$ si ottiene l'equazione del luogo richiesto:
$(2-a)^2+(2-b)^2=(a+2)^2+(b+2)^2+16-8sqrt((a+2)^2+(b+2)^2)$.
Dopo un po' di conti, salvo errori viene:
$b=2/a$ che è un'iperbole.
Uao!
Piera, ti dispiacerebbe dirmi perché A è il vertice della parabola e $y=37/12$ la direttrice? E soprattutto come hai fatto a capire che si doveva trattare di una parabola?
Grazie molte,
Andrea
Piera, ti dispiacerebbe dirmi perché A è il vertice della parabola e $y=37/12$ la direttrice? E soprattutto come hai fatto a capire che si doveva trattare di una parabola?
Grazie molte,
Andrea
Se non ricordo male questo problema è stato dato agli esami di maturità, vero?
Mi pare che il mio professore me lo fece fare alla lavagna! Mi sembra che non andai molto bene.
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti tra un punto fisso detto vertice e una retta fissa detta direttrice.
La distanza tra il centro di una circonferenza e la retta tangente $y=37/12$ è uguale al raggio della circonferenza, ma anche la distanza del centro da $A$ è uguale al raggio. Quindi i centri, essendo equidistanti da $y=37/12$ e dal punto $A$, descriveranno una parabola.
Mi pare che il mio professore me lo fece fare alla lavagna! Mi sembra che non andai molto bene.
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti tra un punto fisso detto vertice e una retta fissa detta direttrice.
La distanza tra il centro di una circonferenza e la retta tangente $y=37/12$ è uguale al raggio della circonferenza, ma anche la distanza del centro da $A$ è uguale al raggio. Quindi i centri, essendo equidistanti da $y=37/12$ e dal punto $A$, descriveranno una parabola.
Sì, è preso dalla maturità del 1990.
Ti ringrazio molto ancora.
P.S. Non parliamo di interrogazioni di matematica andate male...So di cosa parli, sono fresco di un'esperienza del genere!
Ti ringrazio molto ancora.
P.S. Non parliamo di interrogazioni di matematica andate male...So di cosa parli, sono fresco di un'esperienza del genere!
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