Luogho geometrico IV Liceo Scientifico
Ciao a tutti.
Vorrei sottoporvi un problema alquanto complesso che prevede lo studio di un luogo geometrico.
Trovo difficoltà perchè si tratta di un luogo definito da un punto in movimento che dipende da un doppio parametro.
Rappresentare graficamente la curva $\gamma$ di equazione $y = x-x^2$.
Sia $M$ l'intersezione dell'asse $a$ di $\gamma$ con l'asse delle ascisse e sia $H$ la proiezione ortogonale su $a$ di un punto $T$ di $\gamma$ (non appartenente all'asse delle ascisse).
Determinare l'equazione del luogo $L$ descritto dal punto $P$ di intersezione della retta $OH$ con la retta $MT$ essendo $O$ l'origine degli assi, verificando che si ottiente: $ y = (4x-1)/(8x)$.
Ho disegnato la parabola data ed impostato che il punto $M$ ha coordinate $M (1/2, 0)$, il punto T ha coordinate $T (x, x-x^2)$ ed il punto H (1/2, x-x^2).
Ho trovato le rette passanti per $OH$ e $MT$ che sono rispettivamente:
$y=2kx$ dove $k = x-x^2$ e
$y = (2k)/(2h-1)*(x-1/2)$ dove $h = x_T$ e $k = x-x^2$.
A questo punto non so più andare avanti. Qualcuno di voi mi aiuta? Grazie.
Posto anche l'immagine da Geogebra.
Vorrei sottoporvi un problema alquanto complesso che prevede lo studio di un luogo geometrico.
Trovo difficoltà perchè si tratta di un luogo definito da un punto in movimento che dipende da un doppio parametro.
Rappresentare graficamente la curva $\gamma$ di equazione $y = x-x^2$.
Sia $M$ l'intersezione dell'asse $a$ di $\gamma$ con l'asse delle ascisse e sia $H$ la proiezione ortogonale su $a$ di un punto $T$ di $\gamma$ (non appartenente all'asse delle ascisse).
Determinare l'equazione del luogo $L$ descritto dal punto $P$ di intersezione della retta $OH$ con la retta $MT$ essendo $O$ l'origine degli assi, verificando che si ottiente: $ y = (4x-1)/(8x)$.
Ho disegnato la parabola data ed impostato che il punto $M$ ha coordinate $M (1/2, 0)$, il punto T ha coordinate $T (x, x-x^2)$ ed il punto H (1/2, x-x^2).
Ho trovato le rette passanti per $OH$ e $MT$ che sono rispettivamente:
$y=2kx$ dove $k = x-x^2$ e
$y = (2k)/(2h-1)*(x-1/2)$ dove $h = x_T$ e $k = x-x^2$.
A questo punto non so più andare avanti. Qualcuno di voi mi aiuta? Grazie.
Posto anche l'immagine da Geogebra.
Risposte
allora,abbiamo $O(0,0),M(1/2,0),H(1/2,k-k^2),T(k.k-k^2)$
per $k ne 1/2$ la retta $OH$ ha equazione $y=2(k-k^2)x$ e la retta $MT$ ha equazione $y=(k-k^2)(2x-1)/(2k-1)$
mettendo a sistema le 2 equazioni,risolvendo con il metodo del confronto ,si ha
$2(k-k^2)x=(k-k^2)(2x-1)/(2k-1)$
potendo per ipotesi escludere i valori di $k$ che annullano $k-k^2$,l'equazione equivale a
$2x=(2x-1)/(2k-1)$ che ci dà la soluzione $k=1-1/(4x)$
sostituendo a $k$ nell'equazione di $OH$,si ha $y=(4x-1)/(8x)$
lascio a te vedere cosa succede nal caso $k=1/2$
per $k ne 1/2$ la retta $OH$ ha equazione $y=2(k-k^2)x$ e la retta $MT$ ha equazione $y=(k-k^2)(2x-1)/(2k-1)$
mettendo a sistema le 2 equazioni,risolvendo con il metodo del confronto ,si ha
$2(k-k^2)x=(k-k^2)(2x-1)/(2k-1)$
potendo per ipotesi escludere i valori di $k$ che annullano $k-k^2$,l'equazione equivale a
$2x=(2x-1)/(2k-1)$ che ci dà la soluzione $k=1-1/(4x)$
sostituendo a $k$ nell'equazione di $OH$,si ha $y=(4x-1)/(8x)$
lascio a te vedere cosa succede nal caso $k=1/2$
Geniale.
Grazie, capito tutto.
Raffaele
Grazie, capito tutto.
Raffaele
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