Luoghi geometrici

[Sk_Anonymous]

Fissata sul piano un sistema di assi cartesiani ortogonali $Oxy$, si consideri il punto $A(1,0)$ e la circonferenza $T$ di equazione:$x^2+y^2=4$.
Se $B$ è un punto qualunque di $T$, diciamo $P$ il punto di incontro delle altezze del triangolo $OAB$.
Al variare di $B$ sulla circonferenza il punto $P$ descrive una curva della quale si chiede l'equazione cartesiana.

[MaMo2]

L'equazione cartesiana del luogo gemetrico descritto dall'ortocentro del triangolo OAB è:
$y^2=(x^2(x-1)^2)/(4-x^2)$

[Sk_Anonymous]

spieghiamoli i passaggi per chi ci legge...


Dette $(alpha,beta)$ le coordinate del punto $B$, dato che tale punto sta su $T$, deve risultare:
$alpha^2+beta^2=4$

Premesso ciò,l'equazione della retta $OB$ è: $y=beta/alphax$, e l'equazione della retta $AH$, perpendicolare alla $OB$ condotta da $A$, è quindi:
$y=-alpha/beta(x-1)$, mentre l'equazione della retta$BK$, perpendicolareall'asse $x$, è: $x=alpha$.
Perciò le coordinate $(x,y)$ del punto $P$ sono date dalla soluzione delsistema:
$y=-alpha/beta(x-1)$, $x=alpha$.
Risolvendolo siottiene $alpha=x$, $beta=-x/y(x-1)$.
Sostituendo questi valori in $alpha^2+beta^2=4$, si ottiene:
$x^2y^2+x^4-2x^3+x^2-4x^2=0$
che è una curva simmetrica rispetto all'asse delle $x$.