Lunghezza segmento di parabola
ciao a tutti......
qualche giorno fa avevo in mano un libro di storia della matematica e ho letto che un matematico ( forse greco, ma non ne sono sicuro... pardon) avevo trovato un metodo per calcolare il segmento di parabola, ma non c'era scritto come aveva fatto !!!
così mi sono messo all'opera e, utilizzando il teorema di pitagora, ho trovato il seguente limite:
detti a e b gli estremi dell'intervallo in cui si vuole calcolare la lunghezza della funzione $f(x)$( nel caso del libro il segmento di parabola), la "lunghezza" della funzione equivale a $lim_(h->infty)(\sum_{k=1}^h sqrt((f(|a-b|)/h)^2 + k(f(|a-b|)/h)^2))$
non so dire bene come ci sono arrivato e il limite sopra vale solo se $a=0$..... dovrei poter fare grafici e non sono capace.....
comunque ho fatto qualche calcolo troncano la serie a 10 tentando di calcolare la lunghezza della parabola di $f(x) = x^2$ in $[0,1]$ma viene 5.5 circa.................. un pò troppo ?
qualcuno mi potrebbe dire come si fa a calcolare la " lunghezza" di una funzione in un determinato intervallo e se il mio limite è almeno concettualmente giusto ??? quanto misura il segmento di parabola ????
spero di essere statop chiaro,..... brancolo ne buio,......
vi ringtrazio anticipatament eper le vostre rispote e per i vostri aiuti.....
ciao !!!!
qualche giorno fa avevo in mano un libro di storia della matematica e ho letto che un matematico ( forse greco, ma non ne sono sicuro... pardon) avevo trovato un metodo per calcolare il segmento di parabola, ma non c'era scritto come aveva fatto !!!
così mi sono messo all'opera e, utilizzando il teorema di pitagora, ho trovato il seguente limite:
detti a e b gli estremi dell'intervallo in cui si vuole calcolare la lunghezza della funzione $f(x)$( nel caso del libro il segmento di parabola), la "lunghezza" della funzione equivale a $lim_(h->infty)(\sum_{k=1}^h sqrt((f(|a-b|)/h)^2 + k(f(|a-b|)/h)^2))$
non so dire bene come ci sono arrivato e il limite sopra vale solo se $a=0$..... dovrei poter fare grafici e non sono capace.....
comunque ho fatto qualche calcolo troncano la serie a 10 tentando di calcolare la lunghezza della parabola di $f(x) = x^2$ in $[0,1]$ma viene 5.5 circa.................. un pò troppo ?
qualcuno mi potrebbe dire come si fa a calcolare la " lunghezza" di una funzione in un determinato intervallo e se il mio limite è almeno concettualmente giusto ??? quanto misura il segmento di parabola ????
spero di essere statop chiaro,..... brancolo ne buio,......
vi ringtrazio anticipatament eper le vostre rispote e per i vostri aiuti.....
ciao !!!!
Risposte
A me sembra che tu faccia un po' di confusione.
Vuoi trovare la lunghezza di un arco di parabola o l'area di un segmento parabolico?
Vuoi trovare la lunghezza di un arco di parabola o l'area di un segmento parabolico?
pardon.... la lungheza di un arco di oarabiola, mi ero dimenticato come si chiamava......
La "lunghezza"...è in effetti data
da -un passaggio al limite per una somma; somma di... Cauchy-Riemann!
E' un integrale definito. E certo che c'entra Pitagora.
Consideriamo $f(x)$ continua su un intervallo $[a,b]$.
dividi l'intervallo in $n$ intervallini chiusi uguali $[x_i,x_(i+1)]$ con $a=x_0$, $b=x_n$_lo stesso
procedimento per cui si arriva alla definizione di integrale.
Approssima la lunghezza di $f(x)$, per$x\in[x_i,x_(i+1)]$; con la
lunghezza del segmento che unisce $f(x_1)$ ed $f(x_(i+1))$: $sqrt( [(b-a)/n]^2 +[f(x_(i+1)) -f(x_i)]^2)$.
La poligonale ha lunghezza
$L = \sum_{i=0}^(n-1)sqrt( [(b-a)/n]^2 +[f(x_(i+1)) -f(x_i)]^2) =$
$= [(b-a)/n]\sum_{i=0}^(n-1)sqrt( 1 +[\frac{f(x_(i+1)) -f(x_i)}{x_(i+1) -x_i}]^2)$
Passando al limte per $n\to \infty$, $x_(i+1)$ tende ad $x_i$, per cui
il rapporto incrementale $\frac{f(x_(i+1)) -f(x_i)}{x_(i+1) -x_i}$ tende a $f'(x_i)$.
La formula è:
$L =\int_{a}^{b}sqrt(1 +[f'(x)]^2) dx$.
Più in generale:
Una curva è una /funzione/, vettoriale; ovvero è
una n-pla ordinata di funzioni scalari di una variabile (un parametro).
Ovvero:
$\vec \phi ={ (x_1 = f_1(t)), (x_2 = f_2(t)), (...),(x_n =f_n(t)):}$, $t\in [a,b]$
L'insieme immagine è detto sostegno della curva. Così,
se avessi una certa "traettoria", in $E^3$, quello è detto il "sostegno della curva",
non è la "curva" stessa, che è la funzione vettoriale.
Comunque,
se la curva è "sufficientemente regolare" su [a,b],
la lunghezza del sostegno, essendo $(x_1,x_2,...;x_n)$ coordinate cartesiane ortogonali, è:
$L=\int_{a}^{b}{[f_1'(t)]^2+[f_2'(t)]^2+...+[f_n'(t)]^2}^(1/2) dt$. Perchè? perchè,
in prima approssimazione, l'elemento d'arco è uguale al modulo del vettore derivata-prima in quel punto (come
dire che $tanx$ è asintotico ad $x$, per $x\to0$).
Il grafico di una funzione scalare di una variabile $y =f(x)$è allora un caso particolare:
$\vec \phi ={(x=t), (y=f(t)):}$,$t\in[a,b]$. Allora:
${(L=\int_{a}^{b} sqrt([x'(t)]^2 +[y'(t)]^2) dt),(x'(t)=1), (y'(t) =f'(x)):} =>$
$=>L =\int_{a}^{b}sqrt(1 +[f'(x)]^2) dx$, !come dicevamo...
E'che non sempre trovi una primitiva esplicita... (vedi ellisse). Bye.
da -un passaggio al limite per una somma; somma di... Cauchy-Riemann!
E' un integrale definito. E certo che c'entra Pitagora.
Consideriamo $f(x)$ continua su un intervallo $[a,b]$.
dividi l'intervallo in $n$ intervallini chiusi uguali $[x_i,x_(i+1)]$ con $a=x_0$, $b=x_n$_lo stesso
procedimento per cui si arriva alla definizione di integrale.
Approssima la lunghezza di $f(x)$, per$x\in[x_i,x_(i+1)]$; con la
lunghezza del segmento che unisce $f(x_1)$ ed $f(x_(i+1))$: $sqrt( [(b-a)/n]^2 +[f(x_(i+1)) -f(x_i)]^2)$.
La poligonale ha lunghezza
$L = \sum_{i=0}^(n-1)sqrt( [(b-a)/n]^2 +[f(x_(i+1)) -f(x_i)]^2) =$
$= [(b-a)/n]\sum_{i=0}^(n-1)sqrt( 1 +[\frac{f(x_(i+1)) -f(x_i)}{x_(i+1) -x_i}]^2)$
Passando al limte per $n\to \infty$, $x_(i+1)$ tende ad $x_i$, per cui
il rapporto incrementale $\frac{f(x_(i+1)) -f(x_i)}{x_(i+1) -x_i}$ tende a $f'(x_i)$.
La formula è:
$L =\int_{a}^{b}sqrt(1 +[f'(x)]^2) dx$.
Più in generale:
Una curva è una /funzione/, vettoriale; ovvero è
una n-pla ordinata di funzioni scalari di una variabile (un parametro).
Ovvero:
$\vec \phi ={ (x_1 = f_1(t)), (x_2 = f_2(t)), (...),(x_n =f_n(t)):}$, $t\in [a,b]$
L'insieme immagine è detto sostegno della curva. Così,
se avessi una certa "traettoria", in $E^3$, quello è detto il "sostegno della curva",
non è la "curva" stessa, che è la funzione vettoriale.
Comunque,
se la curva è "sufficientemente regolare" su [a,b],
la lunghezza del sostegno, essendo $(x_1,x_2,...;x_n)$ coordinate cartesiane ortogonali, è:
$L=\int_{a}^{b}{[f_1'(t)]^2+[f_2'(t)]^2+...+[f_n'(t)]^2}^(1/2) dt$. Perchè? perchè,
in prima approssimazione, l'elemento d'arco è uguale al modulo del vettore derivata-prima in quel punto (come
dire che $tanx$ è asintotico ad $x$, per $x\to0$).
Il grafico di una funzione scalare di una variabile $y =f(x)$è allora un caso particolare:
$\vec \phi ={(x=t), (y=f(t)):}$,$t\in[a,b]$. Allora:
${(L=\int_{a}^{b} sqrt([x'(t)]^2 +[y'(t)]^2) dt),(x'(t)=1), (y'(t) =f'(x)):} =>$
$=>L =\int_{a}^{b}sqrt(1 +[f'(x)]^2) dx$, !come dicevamo...
E'che non sempre trovi una primitiva esplicita... (vedi ellisse). Bye.
scusa orazioster, ma non ho capito come un passaggio che hai fatto all'inizio per trovare la lunghezza della poligonale:
$L =$$\sum_{i=1}^(n-1) sqrt ([(a-b)/n]^2 + [f(x_(i+1))-f(x_i)]^2 $$=$$ [(a-b)/n] \sum_{i=1}^(n-1) sqrt( 1+ [(f(x_(i+1))-f(x_i))/(x_(i+1)-x_i)]^2)$...........
come hai fatto a "portare" fuori dalla radice quadrata $[(a-b)/n]$.....non mi torna proprio !!!!!
scusate se vi sto tormentando, ma sono curioso......
grazie intanto a orazioster per la esaudiente risposta.......
ciao !!!!
$L =$$\sum_{i=1}^(n-1) sqrt ([(a-b)/n]^2 + [f(x_(i+1))-f(x_i)]^2 $$=$$ [(a-b)/n] \sum_{i=1}^(n-1) sqrt( 1+ [(f(x_(i+1))-f(x_i))/(x_(i+1)-x_i)]^2)$...........
come hai fatto a "portare" fuori dalla radice quadrata $[(a-b)/n]$.....non mi torna proprio !!!!!
scusate se vi sto tormentando, ma sono curioso......
grazie intanto a orazioster per la esaudiente risposta.......
ciao !!!!
Ho moltiplicato e diviso (ogni) radicale per $[(a-b)/n]$.
Il numeratore è lo stesso per tutti gli addendi della somma, e metto in evidenza.
Il denominatore "va dentro" la radice. E così un addendo del radicando , chè è diviso per se stesso, fa 1;
e l'altro vien diviso per l'appunto per $[(a-b)/n]^2$, che ho indicato come $(x_(i+1)-x_i)^2$ per chiarire
che fosse un rapporto incrementale ( che, nel passaggio al limte, diventa la derivata). Salute!
Il numeratore è lo stesso per tutti gli addendi della somma, e metto in evidenza.
Il denominatore "va dentro" la radice. E così un addendo del radicando , chè è diviso per se stesso, fa 1;
e l'altro vien diviso per l'appunto per $[(a-b)/n]^2$, che ho indicato come $(x_(i+1)-x_i)^2$ per chiarire
che fosse un rapporto incrementale ( che, nel passaggio al limte, diventa la derivata). Salute!
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