Logica "Tutti e soli"
Salve,
sono nuovo nel forum perciò un saluto a tutti e correggetemi se faccio qualche errore
La mia domanda riguarda l'utilizzo delle parole "tutti e soli", le quali appaiono spesso all'interno del linguaggio matematico.
Mi sapreste spiegare il significato preciso? Ancora meglio proponendo qualche esempio concreto?
Mi viene in mente la definizione di circonferenza: si sente dire "la circonferenza è l'insieme di tutti e soli i punti che sono equidistanti dal centro"..
Non basterebbe dire " ...l'insieme di tutti i punti che ..."?
Grazie per l'attenzione
sono nuovo nel forum perciò un saluto a tutti e correggetemi se faccio qualche errore
La mia domanda riguarda l'utilizzo delle parole "tutti e soli", le quali appaiono spesso all'interno del linguaggio matematico.
Mi sapreste spiegare il significato preciso? Ancora meglio proponendo qualche esempio concreto?
Mi viene in mente la definizione di circonferenza: si sente dire "la circonferenza è l'insieme di tutti e soli i punti che sono equidistanti dal centro"..
Non basterebbe dire " ...l'insieme di tutti i punti che ..."?
Grazie per l'attenzione
Risposte
L'ho sempre pensato come una perifrasi, per evitare l'uso dei classici "se e solo se" o "tali che" quando essi ingarbugliano le definizioni.
Ad esempio, la definizione che citi potrebbe essere anche espressa dicendo:
senza fare danno, ma incasinando un po' le cose.
Ad esempio, la definizione che citi potrebbe essere anche espressa dicendo:
La circonferenza di centro $C$ e raggio $overline(CQ)$ è l'insieme costituito dai punti $P$ del piano tali che $overline(CP) cong overline(CQ)$.
senza fare danno, ma incasinando un po' le cose.
Ti faccio anche un altro esempio
Tutte le circonferenze hanno un'equazione del tipo $x^2+y^2+ax+by+c=0$, ma non tutte le equazioni di quel tipo sono circonferenze reali.
Tutte le equazioni $y=ax^2+bx+c$ rappresentano una parabola, ma non tutte le parabole hanno un'equazione di quel tipo (solo quelle con asse di simmetria parallelo all'asse y).
Tutte le rette del piano hanno equazione $ax+by+c=0$ con $(a,b) !=(0,0)$ e tutte le equazioni di quel tipo sono rette del piano. In questo caso per non ripetere la definizione si può usare la dicitura
"L'equazione $ax+by+c=0$ con $(a,b) !=(0,0)$ rappresenta tutte e sole le rette del piano".
Tutte le circonferenze hanno un'equazione del tipo $x^2+y^2+ax+by+c=0$, ma non tutte le equazioni di quel tipo sono circonferenze reali.
Tutte le equazioni $y=ax^2+bx+c$ rappresentano una parabola, ma non tutte le parabole hanno un'equazione di quel tipo (solo quelle con asse di simmetria parallelo all'asse y).
Tutte le rette del piano hanno equazione $ax+by+c=0$ con $(a,b) !=(0,0)$ e tutte le equazioni di quel tipo sono rette del piano. In questo caso per non ripetere la definizione si può usare la dicitura
"L'equazione $ax+by+c=0$ con $(a,b) !=(0,0)$ rappresenta tutte e sole le rette del piano".
In insiemistica questo è molto interessante. Un esempio banalissimo:
Che significa? L'insieme \(\{m,a,t,e,i,c,\bullet,\sharp\}\) è un insieme che ha tutte le lettere della parola "matematica"? Sì. Ma non ci sono solo quelle, ce ne sono altre che non vorremmo. Invece \(\{m,a,t,e,i,c\}\), sì, che è l'insieme di tutte e sole le lettere della parola "matematica". Ci sono tutte? Sì. Ci sono solo quelle? Sì.
Si possono fare altri esempi. Cos'è \(\mathbb R\)? A essere precisini è l'insieme di tutti e soli i numeri reali. Mentre l'insieme \(\mathbb R \cup \{\text{ciao},\natural\}\) è uno dei tanti insiemi dei (sottointeso: tutti) numeri reali. Ma contiene solo quelli? No. È vero però che nella prassi comune in questi casi si sottointende il "soli"...
Passiamo all'esempio della circonferenza. Immagina una figura che è l'unione (insiemistica) di una circonferenza e una parabola: se si omette il "soli" nella definizione di circonferenza, questa figura sarebbe una circonferenza; mettendo il "soli", invece, la circonferenza è proprio quella che noi abbiamo in mente.
Volendo puntare un po' più in alto: presa una proprietà \(\psi\) ad una variabile dire
Ma è solo per essere precisini...
$A$ è l'insieme di tutte e sole le lettere della parola "matematica".
Che significa? L'insieme \(\{m,a,t,e,i,c,\bullet,\sharp\}\) è un insieme che ha tutte le lettere della parola "matematica"? Sì. Ma non ci sono solo quelle, ce ne sono altre che non vorremmo. Invece \(\{m,a,t,e,i,c\}\), sì, che è l'insieme di tutte e sole le lettere della parola "matematica". Ci sono tutte? Sì. Ci sono solo quelle? Sì.
Si possono fare altri esempi. Cos'è \(\mathbb R\)? A essere precisini è l'insieme di tutti e soli i numeri reali. Mentre l'insieme \(\mathbb R \cup \{\text{ciao},\natural\}\) è uno dei tanti insiemi dei (sottointeso: tutti) numeri reali. Ma contiene solo quelli? No. È vero però che nella prassi comune in questi casi si sottointende il "soli"...
Passiamo all'esempio della circonferenza. Immagina una figura che è l'unione (insiemistica) di una circonferenza e una parabola: se si omette il "soli" nella definizione di circonferenza, questa figura sarebbe una circonferenza; mettendo il "soli", invece, la circonferenza è proprio quella che noi abbiamo in mente.
Volendo puntare un po' più in alto: presa una proprietà \(\psi\) ad una variabile dire
$A$ è l'insieme di tutti e soli gli $x$ tali che $\psi(x)$
significa che per ogni $x$: $x \in A$ se e solo se $\psi(x)$. [nota]Il "se e solo se" sta per $\Leftrightarrow$, una combinazione tra $\Rightarrow$ e $\Leftarrow$.[/nota]
Ma è solo per essere precisini...
Vi ringrazio tutti, ho compreso.
E' interessante il fatto che in italiano il termine "tutti" viene utilizzato come "soli" mentre in matematica sostanzialmente comprende quelli (punti, enti..), più altri che possono non soddisfare quella proprietà.
Quale dei due linguaggi è quello corretto? Forse si aprirebbe un dibattito filosofico
Grazie ancora!
E' interessante il fatto che in italiano il termine "tutti" viene utilizzato come "soli" mentre in matematica sostanzialmente comprende quelli (punti, enti..), più altri che possono non soddisfare quella proprietà.
Quale dei due linguaggi è quello corretto? Forse si aprirebbe un dibattito filosofico
Grazie ancora!
Se vuoi essere iper-rigoroso e iper-formale usa "tutti e soli" dove si può, e quindi si deve. Però ti avviso che prima o poi verrà qualcuno che ti dirà che puoi anche dire "tutti" e basta, senza il "soli".
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