Logica (61067)

[l_ale...]

Mi potreste spiegare la riduzione all'assurdo?cos'è e a cosa serve! grazie

[ALFONSO1995]

La dimostrazione per assurdo si usa per dimostrare la validità di un teorema partendo dall'assunto che sia vero il contrario e ricavando da ciò una contraddizione.

Ad esempio:

si dimostri che √2 è un numero irrazionale, ossia che non lo si può ricavare da un rapporto tra due interi.

Per provarlo prendiamo due interi a e b primi tra loro (ossia privi di fattori comuni) e ipotizziamo per assurdo che √2 = a/b [nota che stiamo ipotizzando l'esatto contrario di ciò che vogliamo provare]

allora

(√2)² = (a/b)²

ossia:

2 = a²/b²
a² = 2b²

ma questo significa che a è multiplo di b il che contraddice l'ipotesi iniziale (a e b primi tra loro).

Dunque è vero il contrario, ossia non esiste alcuna coppia di interi primi tra loro il cui rapporto dia √2.


Altro esempio:

Dimostrare che il prodotto di due interi non nulli è a sua volta non nullo (principio di annullamento del prodotto: se a * b = 0 allora a = 0 oppure b = 0 o entrambi).

Si ipotizzi per assurdo che, dati due interi a e b diversi da 0 sia a * b = 0

allora dovresti avere

a = 0/b

ossia

a = 0

e anche

b = 0/a = 0

il che va contro l'ipotesi iniziale (a e b sono entrambi diversi da 0).
Dunque non esiste un prodotto di interi non nulli che dia risultato nullo.

Ciao