Logaritmo e radicali

[rombo1]

Ho questo esercizio sull'uso delle proprietà del logaritmo e delle sue restrizioni:

$log_a [a/root(6)((a+1)^6)]$

vorrei sapere come comportarmi rispetto al valore assoluto della radice e del logaritmo. Conoscendo i teoremi:

$log_a[x/y]=log_a|x| - log_a|y|$ con $x/y >0$

$sqrt(x^2)=|x|$

cerco il campo di esistenza dell'esercizio tramite il sistema:
1. $a>0$
2. $a!=1$
3. $[a/root(6)((a+1)^6)] > 0$

e trovo che c'è soluzione con $a>1$. Svolgo l'esercizio:

$log_a [a/root(6)((a+1)^6)] = log_a|a| - log_a|root(6)((a+1)^6)| = 1 - log_a||a+1|| = 1 - log_a|a+1|$

La soluzione però dice altro, ha imposto $a>0$ ed il risultato ha scartato i valori assoluti in tutti i passaggi, suppongo perché tiene implicitamente conto che la funzione è sempre positiva. giusto?

Nel caso sostituissi l'argomento del logaritmo con un generico $b$ (con fissato una base $a>0$ e $a!=1$), il risultato sarebbe questo con i valori assoluti?

$log_a [b/root(6)((b+1)^6)] = log_a |b| - log_a |root(6)((b+1)^6)| = log_a |b| - log_a ||b+1|| = log_a |b| - log_a|b+1| $

imponendo la sola restrizione $[b/root(6)((b+1)^6)] > 0$, trovo che esiste soluzione per $-11$

giusto? grazie per l'aiuto.

[@melia]

Mi pare che ti stia inutilmente complicando la vita, forse solo perché hai sbagliato la disequazione $a+1>0$ che dà $a> -1$ e quindi diventa trascurabile rispetto al resto.

Le condizioni di esistenza sono solo: $a>0 ^^a !=1$, da qui è tutto in discesa perché il fattore che ti creerebbe problemi e avrebbe la necessità del valore assoluto è strettamente positivo essendo somma di due numeri positivi.
Quindi
$ log_a [a/root(6)((a+1)^6)] =log_a a -log_a root(6)((a+1)^6)= 1-log_a (a+1)$ nessun valore assoluto perché $a>0$

Nel caso $ log_a [b/root(6)((b+1)^6)] $ per prima cosa devi calcolare le condizioni di esistenza dell'argomento, che richiedono $[b/root(6)((b+1)^6)]>0$ il denominatore è positivo per $b != -1$ (tutto quello che esce da una radice ad indice pari è positivo o nullo), mentre il numeratore è positivo per $b>0$, le condizioni di esistenza per la variabile $b$ si traducono in $b>0$ e solo a questo punto puoi lavorate applicando i teoremi, mentre i valori assoluti non servono perché la condizione di esistenza impone che i fattori presenti siano già positivi:

$ log_a [b/root(6)((b+1)^6)] = log_a b - log_a root(6)((b+1)^6) = log_a b - log_a (b+1) $