[Logaritmi] Uguaglianza da dimostrare

[mathos2000]

Se io ho $log_(a^2)(asqrta)=log_a4sqrt(a^3)$ [MODIFICA: 4 è indice della radice]

e cerco di dimostrare tale uguaglianza con la formula del cambiamento di base (altri metodi sono ben accetti), va a finire che trovo l'uguaglianza $1/2=3/4$....

Scrivo di seguito i passaggi di tale uguaglianza che ho cercato di dimostrare:

1) $log_(a^2)(a*a^(1/2))=log_a(a^(3/4))$ ($sqrta$ diventa $a^(1/2)$ e al secondo membro quella radice quarta l'ho trasformata nell'esponente frazionario)

2) $log_(a^2)(a^(1+1/2))=log_a(a^(3/4))$

3) $(3/2)log_(a^2)(a)=3/4log_a(a)$ (Per una delle proprietà dei logaritmi l'esponente dell'argomento l'ho portato a fattore moltiplicativo del logaritmo stesso)

4) $ (3/2log_(a)(a))/(3/2log_aa^2)=3/4log_aa $

5) $ (3/2log_(a)(a))/(3log_aa)=3/4log_aa $ (al denominatore del primo membro per una delle proprietà dei logaritimi il 2 esponente di a diventa fattore moltiplicativo del logaritmo che si semplifica con il 2 della frazione)

6) se $log_a(a)=1$ allora, a questo punto, posso non considerare i logaritmi

dunque:

$(3/2:3)=3/4$

7) Eccoci qui al punto in cui mi fermavo:

$1/2=3/4$

Come si potrebbe fare?

[axpgn]

$log_(a^2) a^(3/2)=log_a a^(3/4)$

$3/2log_(a^2) a=3/4log_a a$

$log_(a^2) a=3/4*2/3*1$

$log_(a^2) a=1/2log_(a^2) a^2$

$log_(a^2) a=log_(a^2) (a^2)^(1/2)$

[mgrau]

il logaritmo in base $a^2$ di $a^(3/2)$ è quel numero x per cui $(a^2)^x = a^(3/2)$, da cui $2x = 3/2$ e $x = 3/4$
Al secondo membro, se quel quattro è, come credo, l'indice della radice, il logaritmo è immediatamente $3/4$
Quindi mi pare che l'identità venga fuori subito

[mathos2000]

Ok, grazie per le risposte.