Logaritmi, perché esistete?
Ciao a tutti, scusate l'orario. Da poco abbiamo iniziato i logaritmi a scuola ma non ce sto a capì moltissimo. Posto ora perché fino a mo ho provato a risolverli ma nulla 
Potreste risolvermi questo esercizio di esempio passo passo , Almeno vedo di capire dove sbaglio! Grazie in anticipo 
$ (2)/(Inx) = In x^2 $ Oppure questo $ log (x+2) - log(2x+3) = 0 $
Potreste risolvermi questo esercizio di esempio passo passo , Almeno vedo di capire dove sbaglio! Grazie in anticipo $ (2)/(Inx) = In x^2 $ Oppure questo $ log (x+2) - log(2x+3) = 0 $
Risposte
"matteo977":
Ciao a tutti, scusate l'orario. Da poco abbiamo iniziato i logaritmi a scuola ma non ce sto a capì moltissimo. Posto ora perché fino a mo ho provato a risolverli ma nulla
allora la seconda equazione.. la prima non si capisce molto bene..riscrivila meglio
allora abbiamo $ log (x+2) - log(2x+3) = 0 $
visto che li appena iniziati..non so (ma sicuramente si)
ti avranno detto questa proprietà $ \ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b) $
quindi si ha $ log (x+2) - log(2x+3) = 0 \to \ln((x+2)/(2x+3))=0 $
sicuramente ti avranno fatto vedere che $\ln 1=0$
quindi $ \ln((x+2)/(2x+3))=\ln(1)\to (x+2)/(2x+3)=1 $
gli appena cominciati..quindi aspetta prima di risolvere espressioni/equazioni/disequazioni..
p.s.: scusa l'abitudine, io da studente universitario scrivo sempre $\ln$.. è in pratica il logartimo in base naturale $e$
Intanto comincio col dirti che il simbolo del logaritmo naturale (o neperiano) non è $In$ ma $ln$, ottenuto dalle iniziali delle due parole.
Cominciamo col primo esercizio: come in tutte le equazioni con i logaritmi la prima cosa da fare è trovare il campo di esistenza, imponendo che gli argomenti siano positivi ed i denominatori diversi da zero. Scriveremo quindi
C.E. ${(x>0),(x^2>0),(lnx!=0):}$
La seconda disequazione è inutile perché conseguenza della prima (la soluzione della seconda sarebbe $x!=0$); dalla terza ricaviamo $lnx!=ln1->x!=1$ e quindi concludiamo con
C.E. $x>0^^x!=1$
Passiamo ora alla soluzione e per questo usiamo una proprietà dei logaritmi scrivendo
$2/(lnx)=2lnx$
C'è ovunque lo stesso logaritmo ed indichiamolo con una lettera, ponendo $y=lnx$; l'equazione diventa
$2/y=2y$
e la risolvi senza difficoltà, arrivando a $y=+-1$. Ora bisogna ritornare ad $x$ e distinguiamo i due casi:
Prima soluzione: $y=1->lnx=1->lnx=lne^1->x=e$
Seconda soluzione: $y=-1->lnx=-1->lnx=ln e^(-1)->x=1/e$
Entrambe le soluzioni rientrano nel C.E. e quindi sono accettabili.
Il secondo esercizio è ancora più facile: come prima cosa calcoli il C.E. imponendo che entrambi gli argomenti siano positivi, poi scrivi l'equazione come
$log(x+2)=log(2x+3)" "-> " "x+2=2x+3" "->...$
@ 21zuclo: ma le frazioni ti piacciono tanto? A me no.
Cominciamo col primo esercizio: come in tutte le equazioni con i logaritmi la prima cosa da fare è trovare il campo di esistenza, imponendo che gli argomenti siano positivi ed i denominatori diversi da zero. Scriveremo quindi
C.E. ${(x>0),(x^2>0),(lnx!=0):}$
La seconda disequazione è inutile perché conseguenza della prima (la soluzione della seconda sarebbe $x!=0$); dalla terza ricaviamo $lnx!=ln1->x!=1$ e quindi concludiamo con
C.E. $x>0^^x!=1$
Passiamo ora alla soluzione e per questo usiamo una proprietà dei logaritmi scrivendo
$2/(lnx)=2lnx$
C'è ovunque lo stesso logaritmo ed indichiamolo con una lettera, ponendo $y=lnx$; l'equazione diventa
$2/y=2y$
e la risolvi senza difficoltà, arrivando a $y=+-1$. Ora bisogna ritornare ad $x$ e distinguiamo i due casi:
Prima soluzione: $y=1->lnx=1->lnx=lne^1->x=e$
Seconda soluzione: $y=-1->lnx=-1->lnx=ln e^(-1)->x=1/e$
Entrambe le soluzioni rientrano nel C.E. e quindi sono accettabili.
Il secondo esercizio è ancora più facile: come prima cosa calcoli il C.E. imponendo che entrambi gli argomenti siano positivi, poi scrivi l'equazione come
$log(x+2)=log(2x+3)" "-> " "x+2=2x+3" "->...$
@ 21zuclo: ma le frazioni ti piacciono tanto? A me no.
"giammaria":
Il secondo esercizio è ancora più facile: come prima cosa calcoli il C.E. imponendo che entrambi gli argomenti siano positivi, poi scrivi l'equazione come
$log(x+2)=log(2x+3)" "-> " "x+2=2x+3" "->...$
@ 21zuclo: ma le frazioni ti piacciono tanto? A me no.
bé poi avrei messo per $x\ne -3/2$ e poi l'avrei fatta diventare $x+2=2x+3$
comunque era anche per fargli vedere quella proprietà..
e giustamente come hai scritto tu..mi sono dimenticato di dirglierlo che prima deve mettere gli argomenti positivi.. testa stanca..è tutto il giorno che sono sui libri di matematica..(di Analisi Matematica 2)..
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