Logaritmi, disequazioni
logaritmo in base a di x è maggiore di k.
allora a elevato a logaritmo in base a di x è maggiore di a elevato alla k
allora x è maggiore di a elevato alla k.
chi me lo spiega?
allora a elevato a logaritmo in base a di x è maggiore di a elevato alla k
allora x è maggiore di a elevato alla k.
chi me lo spiega?
Risposte
Se $a>b$ allora sarà anche necessariamente $e^a>e^b$ oppure $2^a>2^b$ oppure con qualunque altra base...
Dunque da $log_ax>k$ arriviamo a $a^(log_ax)>a^k$. A questo punto, il logaritmo e l'esponenziale sono due funzioni inverse come l'elevamento a potenza e la radice e perciò la loro composizione sarà uguale ad $x$ così come ad es. $sqrt(x^2)=x$ o $sin(arcsinx)=x$ ecc. (tra parentesi questa è anche una proprietà dei logaritmi).
Ora, capito che $a^(log_ax)=x$, otteniamo che $x>a^k$. Perdonami se sono stato poco chiaro
PS. sarebbe bene scrivere le formule in maniera opportuna... non è difficile basta racchiudere tra due $
Dunque da $log_ax>k$ arriviamo a $a^(log_ax)>a^k$. A questo punto, il logaritmo e l'esponenziale sono due funzioni inverse come l'elevamento a potenza e la radice e perciò la loro composizione sarà uguale ad $x$ così come ad es. $sqrt(x^2)=x$ o $sin(arcsinx)=x$ ecc. (tra parentesi questa è anche una proprietà dei logaritmi).
Ora, capito che $a^(log_ax)=x$, otteniamo che $x>a^k$. Perdonami se sono stato poco chiaro
PS. sarebbe bene scrivere le formule in maniera opportuna... non è difficile basta racchiudere tra due $
C'è un problema non da poco.
La richiesta di Lavinia ha in sè un errore grave.
NON è vero che se $log_a x> k$ allora $x > a^k$, questo vale SOLO se $a>1$.
Con $0 k$ si ottiene $x < a^k$
Inoltre, dopo 71 messaggi, è il caso di cominciare a scrivere le formule correttamente.
La richiesta di Lavinia ha in sè un errore grave.
NON è vero che se $log_a x> k$ allora $x > a^k$, questo vale SOLO se $a>1$.
Con $0
Inoltre, dopo 71 messaggi, è il caso di cominciare a scrivere le formule correttamente.
OK, beh se bastasse quello lo farei comunque xD
Ciao
Imponiamo $a>0, ane1$ e lavoriamo belli tranquilli.
Ci sono due modi di procedere, ma sostanzialmente sono la stessa cosa.
Inoltre bisogna distinguere due casi:
1: $a>1$
modo 1
$log_a(x)>k*1 <=> log_a(x)>k*log_a(a)$
Di fatto sappiamo che $log_a(a)=1$ quindi moltiplicando per $1$ equivale a non far nulla. Ora applichiamo la terza proprietà dei logaritmi(o comunque quella dell'esponente)
$log_a(x)>log_a(a^k)$
Quì entrano in gioco l'iniettività della funzione e la stretta crescenza:
$forallx_1,x_2inRR_(0)^+: f(x_2)>f(x_1) <=> x_2>x_1$
Tornando a noi:
$log_a(x)>log_a(a^k) <=> x>a^k$
modo 2
$log_a(x)>k$
applichiamo direttamente la funzione $f(x)=a^x$ ad ambo i membri, che essendo sempre iniettiva e munita di stretta crescenza, conserva l'ordine.
$a^(log_a(x))>a^k$
A primo membro abbiamo la definizione di logaritmo, ovvero il logaritmo è quel numero che messo ad esponente di $a$ mi da $x$ infatti:
$a^(log_a(x))=x, forallx inRR_(0)^+$
Oppure in maniera più carina
Ovvero la composizione di una funzione con la sua inversa, restituisce la funzione identità, in un opportuno dominio.
E si torna sempre a finire con $x>a^k$
Ora ci sarebbe il caso $0
$forallx_1,x_2inRR_(0)^+: f(x_2)>f(x_1) <=> x_2
Se hai bisogno, dì.
Metto una piccola appendice, che mi interessa.
Quando ti scrivo che $a^(log_a(x))=x$ in un opportuno dominio, intendo che pur tornandoti la funzione:
$f^(-1)circf(x)=x$
questo non significa che tu possa assegnare alla variabile qualunque valore tu voglia, perché sei comunque passata per una composizione.
In teoria la funzione è sempre:
$f^(-1)circf =a^(log_a(x))$
SOLO CHE considerata nel dominio della funzione più interna, l'equazione seguente 'ha senso'
$a^(log_a(x))=x$ ma questo perché?
Di fatto quando dai un valore alla $x$ ne fai PRIMA il logaritmo e solo DOPO puoi calcolarne l'esponenziale. Ma prima devi poter fare il logaritmo!
Ti faccio un esempio:
$f(x)=2^(log_2(x))$
$f(-2)=2^(log_2(-2))$
puoi fare il log di un numero negativo? No. Quindi capisci bene che
$2^(log_2(-2))ne-2$, anzi, sui reali non esiste proprio!
Perché ti sto dicendo questo? Perché alcuni programmi di grafica, tipo Desmos, se scrivi tipo:
$a^(log_a(x))$ e fai variare $a in]0,1[cup]1,+infty[$
Ti dà come definito, il punto in cui l'argomento è nullo. Ma sappiamo che non può mai essere nullo l'argomento di un logaritmo.
Quindi volevo mettere diciamo un po' di ordine a chi ne avesse bisogno su questa cosa, sperando di essermi spiegato bene. Allego anche un grafico di ciò che intendo.
Ti faccio qualche altro esempio pratico breve breve:
$sin(arcsin(x))=x <=> x in[-1,1]$
$(sqrt(x))^2=x <=> x in[0,+infty[$
$cos(arccos(x))=x <=> x in[-1,1]$
Perché di fatto devi calcolare prima quelli interni.
$log_a(x)>k, x in RR_(0)^+$
Imponiamo $a>0, ane1$ e lavoriamo belli tranquilli.
Ci sono due modi di procedere, ma sostanzialmente sono la stessa cosa.
Inoltre bisogna distinguere due casi:
1: $a>1$
modo 1
$log_a(x)>k*1 <=> log_a(x)>k*log_a(a)$
Di fatto sappiamo che $log_a(a)=1$ quindi moltiplicando per $1$ equivale a non far nulla. Ora applichiamo la terza proprietà dei logaritmi(o comunque quella dell'esponente)
$log_a(x)>log_a(a^k)$
Quì entrano in gioco l'iniettività della funzione e la stretta crescenza:
$forallx_1,x_2inRR_(0)^+: f(x_2)>f(x_1) <=> x_2>x_1$
Tornando a noi:
$log_a(x)>log_a(a^k) <=> x>a^k$
modo 2
$log_a(x)>k$
applichiamo direttamente la funzione $f(x)=a^x$ ad ambo i membri, che essendo sempre iniettiva e munita di stretta crescenza, conserva l'ordine.
$a^(log_a(x))>a^k$
A primo membro abbiamo la definizione di logaritmo, ovvero il logaritmo è quel numero che messo ad esponente di $a$ mi da $x$ infatti:
$a^(log_a(x))=x, forallx inRR_(0)^+$
Oppure in maniera più carina
$fcircf^(-1)=iχ$ e $iχ: x |-> x$
Ovvero la composizione di una funzione con la sua inversa, restituisce la funzione identità, in un opportuno dominio.
E si torna sempre a finire con $x>a^k$
Ora ci sarebbe il caso $0
$forallx_1,x_2inRR_(0)^+: f(x_2)>f(x_1) <=> x_2
Se hai bisogno, dì.
Metto una piccola appendice, che mi interessa.
Quando ti scrivo che $a^(log_a(x))=x$ in un opportuno dominio, intendo che pur tornandoti la funzione:
$f^(-1)circf(x)=x$
questo non significa che tu possa assegnare alla variabile qualunque valore tu voglia, perché sei comunque passata per una composizione.
In teoria la funzione è sempre:
$f^(-1)circf =a^(log_a(x))$
SOLO CHE considerata nel dominio della funzione più interna, l'equazione seguente 'ha senso'
$a^(log_a(x))=x$ ma questo perché?
Di fatto quando dai un valore alla $x$ ne fai PRIMA il logaritmo e solo DOPO puoi calcolarne l'esponenziale. Ma prima devi poter fare il logaritmo!
Ti faccio un esempio:
$f(x)=2^(log_2(x))$
$f(-2)=2^(log_2(-2))$
puoi fare il log di un numero negativo? No. Quindi capisci bene che
$2^(log_2(-2))ne-2$, anzi, sui reali non esiste proprio!
Perché ti sto dicendo questo? Perché alcuni programmi di grafica, tipo Desmos, se scrivi tipo:
$a^(log_a(x))$ e fai variare $a in]0,1[cup]1,+infty[$
Ti dà come definito, il punto in cui l'argomento è nullo. Ma sappiamo che non può mai essere nullo l'argomento di un logaritmo.
Quindi volevo mettere diciamo un po' di ordine a chi ne avesse bisogno su questa cosa, sperando di essermi spiegato bene. Allego anche un grafico di ciò che intendo.
Ti faccio qualche altro esempio pratico breve breve:
$sin(arcsin(x))=x <=> x in[-1,1]$
$(sqrt(x))^2=x <=> x in[0,+infty[$
$cos(arccos(x))=x <=> x in[-1,1]$
Perché di fatto devi calcolare prima quelli interni.
ok perfetto grazie 
credo di aver caPiTo il tuo appunto, purroppo sono limitata anche dalla mia scarsa conoscenza delle funzioni. comunque penso u volessi scivere SOLO SE e non SOLO CHE
credo di aver caPiTo il tuo appunto, purroppo sono limitata anche dalla mia scarsa conoscenza delle funzioni. comunque penso u volessi scivere SOLO SE e non SOLO CHE
"Lavinia Volpe":
ok perfetto grazie
Nono intendo proprio SOLO CHE e intendo 'solo che devi tenere in considerazione che....'
ok!
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