Logaritmi con base a^n

[Whisper1]

Salve a tutti, sono un nuovo iscritto!

Dovrei dimostrare quanto segue: detto log_a(b) il logaritmo in base a di b, dimostrare che è log_a(b)=log_a^n(b^n)

Ed anche: se è log_a(b)=c, è pure log_a^n(b)=c/n, ma questo lo potrei dimostrare facilmente se riuscissi a dimostrare il primo, poiché [log_a(b)]/[n*log_a^n(b)]=[log_a(b)]/[log_a^n(b^n)]=1, sempre vero se log_a(b) = log_a^n(b^n).

Potreste darmi una mano? [:)]

[jack110]

partiamo da un gradino prima...
considera la potenza
(a^b)^c=d
hai
log_a(d)=b*c
log_a^b(d)=c
da cui (poichè c=c...)
[log_a(d)]/b=log_a^b(d),e allora noti che puoi trasformare l' espressione da te postata
log_a^n(b^n) come
1/n*[log_a(b^n)] e applicando le proprietà dei logartimi, ottieni
n/n*[log_a(b)] ===>log_a(b), che era quello che dovevi dimostrare...

ciao

[Whisper1]

Mille grazie, Jack. Bel ragionamento! [;)]

[fireball1]

Più rapidamente, applicando la regola
del cambiamento di base (passando dalla
base a^n alla base a) si ha:
log_a^n(b^n) = (log_a(b^n))/(log_a(a^n)) =
= (n*log_a(b))/(n*log_a(a)) = log_a(b)