Logaritmi...
Sto tentando di risolvere questo esercizio: sia $c$ la soluzione di questa equazione $log_2(x+1) = -2$
Io sono partito dalla definizione di logaritmo, percui ho fatto:
$2^-2 = x+1$
$1/4=x+1$
$x=-3/4$ che non e' la soluzione!!!
La soluzione e' $-1 < c < -1/2$
che non ho capito....
Io sono partito dalla definizione di logaritmo, percui ho fatto:
$2^-2 = x+1$
$1/4=x+1$
$x=-3/4$ che non e' la soluzione!!!
La soluzione e' $-1 < c < -1/2$
che non ho capito....
Risposte
Innanzitutto devi risolvere la disequazione $x+1>0$, cioè $x> -1$. L'argomento del logaritmo devi assicurarti che sia $>0$. Passando a risolvere la tua equazione non vedo dove sta l'errore:
$log_2(x+1)=-2$
$log_2(x+1)+2=0$
$log_2(x+1)+log_2 4=log_2 1$
$log_2 4(x+1)=log_2 1$
$4(x+1)=1$
$x=-3/4$. Infatti $-1<-3/4<-1/2$. Sbaglio?
$log_2(x+1)=-2$
$log_2(x+1)+2=0$
$log_2(x+1)+log_2 4=log_2 1$
$log_2 4(x+1)=log_2 1$
$4(x+1)=1$
$x=-3/4$. Infatti $-1<-3/4<-1/2$. Sbaglio?
Credo di aver capito.... nella risoluzione dell'equazione devo scegliere tra varie soluzioni (risposta multipla) e in effetti $x=-3/4$ rientra solo nella soluzione indicata; quindi il mio ragionamento era giusto... 
Magari tra le risposte del tuo quesito non ti da le soluzioni ma intervalli. Non lo so, dimmi te non ho il quesito davanti.
Si, ci sono gli intervalli da vagliare 
Magari se li avessi postati forse sarebbe stato piu' chiaro.... 
Magari se li avessi postati forse sarebbe stato piu' chiaro....
In questo esercizio non riesco a capire quale direzione seguire; mi spiego.... devo risolvere questa equazione logaritmica:
$log_2(x) + 3 = 2 Log_2(2-x)$
e proseguo in questo modo:
$log_2(x) + 3 = log_2(2-x)^2$
$log_2(x) - log_2(2-x)^2 = -3$
$log_2(x/(2-x)^2)= -3$
e qui non so se posso eliminare il logaritmo in questo modo.... $(x/(2-x)^2)=2^-3$ oppure ho proprio sbagliato svolgimento e conveniva sviluppare il binomio al quadrato (cosa che ho provato a fare) da cui poi, sempre con le proprieta' dei logaritmi, provare a ridurre....
Che suggerite?
$log_2(x) + 3 = 2 Log_2(2-x)$
e proseguo in questo modo:
$log_2(x) + 3 = log_2(2-x)^2$
$log_2(x) - log_2(2-x)^2 = -3$
$log_2(x/(2-x)^2)= -3$
e qui non so se posso eliminare il logaritmo in questo modo.... $(x/(2-x)^2)=2^-3$ oppure ho proprio sbagliato svolgimento e conveniva sviluppare il binomio al quadrato (cosa che ho provato a fare) da cui poi, sempre con le proprieta' dei logaritmi, provare a ridurre....
Che suggerite?
Innanzitutto devi fare le condizioni di esistenza per i logaritmi:
$x>0$
$2-x>0=>x<2$.
Riportando il tutto sulla tabella dei segni e prendendo solo le linee continue otterrai: $0
$log_2x+log_2 8=log_2(2-x)^2$
$log_2 8x=log_2(2-x)^2$
$8x=(2-x)^2$
$8x=4-4x+x^2$
$x^2-12x+4=0$. Risolvi tale equazione e alla fine escludi una delle due soluzioni in quanto incompatibile con le condizioni di esistenza. Chiaro?
$x>0$
$2-x>0=>x<2$.
Riportando il tutto sulla tabella dei segni e prendendo solo le linee continue otterrai: $0
$log_2x+log_2 8=log_2(2-x)^2$
$log_2 8x=log_2(2-x)^2$
$8x=(2-x)^2$
$8x=4-4x+x^2$
$x^2-12x+4=0$. Risolvi tale equazione e alla fine escludi una delle due soluzioni in quanto incompatibile con le condizioni di esistenza. Chiaro?
Io avrei risolto in maniera differente:
$log_2(x)+3=log_2(2-x)^2$
Possiamo ora scrivere il 3 come prodotto tra appunto il numero naturale 3 e il logaritmo in base a di a (in questo caso 2) che è pari a 1
$log_2(x)+3*log_2(2)=log_2(2-x)^2$
Il coefficiente del secondo logaritmo (3) diviene poi esponente del suo argomento
$log_2(x)+log_2(2)^3=log_2(2-x)^2$
Quindi applichiamo la nota proprietà ed otteniamo che
$log_2(x*2^3)=log_2(2-x)^2$
E quindi
$2^3*x=(2-x)^2$
Risolviamo l'equazione (ricordando che i valori ottenuti, per essere accettabili, devono soddisfare le condizioni di esistenza)
$log_2(x)+3=log_2(2-x)^2$
Possiamo ora scrivere il 3 come prodotto tra appunto il numero naturale 3 e il logaritmo in base a di a (in questo caso 2) che è pari a 1
$log_2(x)+3*log_2(2)=log_2(2-x)^2$
Il coefficiente del secondo logaritmo (3) diviene poi esponente del suo argomento
$log_2(x)+log_2(2)^3=log_2(2-x)^2$
Quindi applichiamo la nota proprietà ed otteniamo che
$log_2(x*2^3)=log_2(2-x)^2$
E quindi
$2^3*x=(2-x)^2$
Risolviamo l'equazione (ricordando che i valori ottenuti, per essere accettabili, devono soddisfare le condizioni di esistenza)
Si, la condizione di esistenza l'avevo valutata correttamente, almeno quella 
Invece non avevo considerato che bisognava trasformare il 3 sotto forma di logaritmo.... infatti poi si arriva al risultato richiesto.
Grazie ad entrambi per la spiegazione
Invece non avevo considerato che bisognava trasformare il 3 sotto forma di logaritmo.... infatti poi si arriva al risultato richiesto.
Grazie ad entrambi per la spiegazione
In questa altra equazione $log_3^2(x) - 9 = 0$ arrivo a questo svolgimento e risultato:
$log_3^2(x) -3*3 = 0$
$log_3^2(x) - log_3(27)*log_3(27) = 0$
$log_3^2(x) - log_3^2(27) = 0$
$sqrt(log_3^2(x)) - sqrt(log_3^2(27)) = 0$
$log_3(x) = log_3(27)$
$x=27$
il risultato e' corretto solo che il libro mette anche $x=1/27$; perche'?
$log_3^2(x) -3*3 = 0$
$log_3^2(x) - log_3(27)*log_3(27) = 0$
$log_3^2(x) - log_3^2(27) = 0$
$sqrt(log_3^2(x)) - sqrt(log_3^2(27)) = 0$
$log_3(x) = log_3(27)$
$x=27$
il risultato e' corretto solo che il libro mette anche $x=1/27$; perche'?
credo di aver capito.... ditemi se e' giusto, per favore
allora quando sposto il secondo membro a destra del segno = ed elimino le radici ottengo:
$log_3(x) = +-log_3(27)$ da cui ho due soluzioni:
1) $log_3(x) = log_3(27)$ che e' uguale a $x=27$
2) $log_3(x) = -log_3(27) = log_3(27^-1) = log_3(1/27)$ che e' uguale a $x=1/27$
E' corretto?
allora quando sposto il secondo membro a destra del segno = ed elimino le radici ottengo:
$log_3(x) = +-log_3(27)$ da cui ho due soluzioni:
1) $log_3(x) = log_3(27)$ che e' uguale a $x=27$
2) $log_3(x) = -log_3(27) = log_3(27^-1) = log_3(1/27)$ che e' uguale a $x=1/27$
E' corretto?
Ti consiglio di fare così:
$log_3x=y$ ovviamente $x>0$
$y^2-9=0=>y=+-3$
$log_3x=-3=>x=1/27$
$log_3x=+3=>x=27$. Più chiaro?
$log_3x=y$ ovviamente $x>0$
$y^2-9=0=>y=+-3$
$log_3x=-3=>x=1/27$
$log_3x=+3=>x=27$. Più chiaro?
Non ci avevo pensato.... e in effetti cosi' e' piu' semplice, comunque il mio ragionamento/svolgimento e' corretto?
grazie al suggerimento di v.tondi ora sto provando questa equazione:
$3log^2(x) - 2sqrt(2)log(x) - 5 = 0$
ho posto che $log(x) = y$ da cui:
$3y^2 - 2sqrt(2)y - 5 = 0$
pero' ora son morto!!!!
Ho provato a calcolare il prodotto di due binomi ma a parte $(3/sqrt(3)y)^2=3y^2$ per il resto non ci arrivo.... sempre che comunque sia sulla strada giusta.
$3log^2(x) - 2sqrt(2)log(x) - 5 = 0$
ho posto che $log(x) = y$ da cui:
$3y^2 - 2sqrt(2)y - 5 = 0$
pero' ora son morto!!!!
Ho provato a calcolare il prodotto di due binomi ma a parte $(3/sqrt(3)y)^2=3y^2$ per il resto non ci arrivo.... sempre che comunque sia sulla strada giusta.
"GundamRX91":
$3y^2 - 2sqrt(2)y - 5 = 0$
è una equazione completa di II grado che puoi risolvere con la solita formula.
$y_(1,2)=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
oppure nella forma ridotta (qui applicabile)
$y_(1,2)=(-b/2±sqrt((b/2)^2-ac))/(a)$
Esattamente... Dovrebbe risultare:
$y_1=(2*sqrt(2)+2*sqrt(17))/6$ e $y_2=(2*sqrt(2)-2*sqrt(17))/6$
E quindi
$log(x)_1=(sqrt(2)+sqrt(17))/3$ e $log(x)_2=(sqrt(2)-sqrt(17))/3$
$y_1=(2*sqrt(2)+2*sqrt(17))/6$ e $y_2=(2*sqrt(2)-2*sqrt(17))/6$
E quindi
$log(x)_1=(sqrt(2)+sqrt(17))/3$ e $log(x)_2=(sqrt(2)-sqrt(17))/3$
Yesssss!!!!
Mannaggia, avevo fatto bene, solo che mi sono perso in un bicchier d'acqua. Ho tanto da imparare, abbiate pazienza.
Grazie
Mannaggia, avevo fatto bene, solo che mi sono perso in un bicchier d'acqua. Ho tanto da imparare, abbiate pazienza.
Grazie
Rieccomi
Stavolta l'esercizio e' :
$3^(2x-1) = 2*5^(x+1)
che svolgo in questo modo:
$log(3^(2x-1)) = 2*log(5^(x+1))$
$(2x-1)log(3) = 2(x+1)log(5)$
e poi..... non so. Ho provato a portare il secondo membro a sinistra per avere una differenza da trasformare in divisione, ma non mi convince e comunque non riesco a proseguire....
Stavolta l'esercizio e' :
$3^(2x-1) = 2*5^(x+1)
che svolgo in questo modo:
$log(3^(2x-1)) = 2*log(5^(x+1))$
$(2x-1)log(3) = 2(x+1)log(5)$
e poi..... non so. Ho provato a portare il secondo membro a sinistra per avere una differenza da trasformare in divisione, ma non mi convince e comunque non riesco a proseguire....
L'errore è già nel primo passaggio
$3^(2x-1) = 2*5^(x+1)$
diventa
$log(3^(2x-1)) = log(2*5^(x+1))$
$(2x-1)log(3) = log2+(x+1)log(5)$
e poi...intanto moltiplica
$3^(2x-1) = 2*5^(x+1)$
diventa
$log(3^(2x-1)) = log(2*5^(x+1))$
$(2x-1)log(3) = log2+(x+1)log(5)$
e poi...intanto moltiplica
Grazie @amelia per l'imbeccata
$(2x-1)log(3) = log(2*5^(x+1))$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + log(5^(x+1))$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + (x+1)log(5)$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + xlog(5) + log(5)$
$2xlog(3) - xlog(5) = log(2) + log(5) + log(3)$
$xlog(3) = log(2*5*3)$
$x=log(30)/log(3)$
pero' il risultato del libro e' $x=log(30)/log(9/5)$..... e non ho capito perche'
$(2x-1)log(3) = log(2*5^(x+1))$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + log(5^(x+1))$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + (x+1)log(5)$
$2xlog(3) - log(3) = log(2) + xlog(5) + log(5)$
$2xlog(3) - xlog(5) = log(2) + log(5) + log(3)$
$xlog(3) = log(2*5*3)$
$x=log(30)/log(3)$
pero' il risultato del libro e' $x=log(30)/log(9/5)$..... e non ho capito perche'
Fino a qui è corretto
$2xlog(3) - xlog(5) = log(2) + log(5) + log(3)$
poi hai sommato farina con semola, invece di raccogliere la variabile
$x(2log3 - log5) = log(2*5*3)$
$xlog(3^2/5) = log(2*5*3)$
$x=log(30)/log(9/5)$ che, come dici, è il risultato corretto
$2xlog(3) - xlog(5) = log(2) + log(5) + log(3)$
poi hai sommato farina con semola, invece di raccogliere la variabile
$x(2log3 - log5) = log(2*5*3)$
$xlog(3^2/5) = log(2*5*3)$
$x=log(30)/log(9/5)$ che, come dici, è il risultato corretto
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