Logaritmi
Man mano che studio i limiti mi sorge una domanda, forse sarà banale ma io non me la spiego..
Perchè con funzioni trascendenti il logaritmo di zero è uguale a 1 mentre quando calcolo limiti il logaritmo di zero è uguale a -oo????
Perchè con funzioni trascendenti il logaritmo di zero è uguale a 1 mentre quando calcolo limiti il logaritmo di zero è uguale a -oo????
Risposte
Il logaritmo di zero non esiste tant'è vero che il dominio di una funzione y=log(fx) è f(x)>0. Quando calcoli il limite per x che tende a zero di un logaritmo esso vale a + o - infinito a secondo che la base sia maggiore di uno o compresa tra 0 e 1 perchè è il comportamento tipico della funzione logaritmica...ci vorrebbe un'immagine. Ora provvedo.
Ecco questo è il diagramma della funzione logaritmica con la base maggiore di 1.
Se x tende a zero da destra la funzione tende a - infinito. Se la base fosse stata compresa tra zero e uno la funzione avrebbe teso a + infinito.
Nota che il logaritmo a zero non esiste in quanto la funzione è asintotica all'asse y.
Se x tende a zero da destra la funzione tende a - infinito. Se la base fosse stata compresa tra zero e uno la funzione avrebbe teso a + infinito.
Nota che il logaritmo a zero non esiste in quanto la funzione è asintotica all'asse y.
ok grazie... avrei un'altra curiosità!! Quando ho una frazione algebrica, ad esempio radice di x fratto x^2+2, il dominio è x>=o e x^2+2 diverso da zero??Oppure si pone solo il denominatore diverso da zero??
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
tutto quello che hai detto!... fra l'altro ciò si ricollega alla composizione di funzioni: componendo una funzione con 1/x bisogna restringere l'immagine dell'altra funzione ai valori non nulli.. analogamente per la radice.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
grazie umbermensch... Senti, sapresti spiegrami in modo semplice il "punto di accumulazione"?? Magari anche con qualche esempio!! 
La cosa più semplice e corretta mi sembra proprio la definizione: Sia f:A->B, si prenda un qualsiasi intorno di un punto x0 appartenente ad A, esso è un punto di accumulazione se l'intersezione del dominio di f e un qualsiasi intorno I\{x0} di x0 non costituisce un insieme vuoto. Un esempio si fa con i numeri naturali, infatti qualunque numero finito tu prenda esisterà almeno un intorno di quel punto che o è vuoto o contiene solo se stesso. Come forse saprai l'unico punto di accumulazione in N è +inf.
certo che te lo spiego... il concetto di accumulazione è uno dei più eleganti dell'analisi...
L'idea è la seguente: vogliamo calcolare il limite di una funzione in un punto x0 e per fare questo vogliamo andare a valutare la funzione vicino a x0 in modo da poterne studiare l'andamento. A questo punto sorge il problema che per andare a valutare la funzione vicino a x0 devo avere dei punti vicini a x0 in cui sia definita la funzione (altrimenti non la potrei calcolare). Nasce così il concetto di punto di accumulazione: Sia D un sottoinsieme dell'asse reale (più in generale un sottospazio metrico) un punto x0 (non si richiede che x0 appartenga a D e d'altra parte i casi più interessanti sono quando non vi appartiene) è detto di accumulazione per D se per ogni intorno di x0 (più in generale per ogni aperto della topologia indotta dalla metrica contenente x0) cadono punti distinti da x0.
Ehm... accanto alla definizione canonica del liceo ho preferito darti anche quella più generale, che non capirai, ma, spero, servirà ad affascinarti più di quello che già sei, mostrandoti come la "astrusa matematica del liceo" non è nient'altro che un banale esempio di teorie estremamente più generali e belle.
Osservazione:
nel caso di successioni di numeri reali, poichè nessun naturale è di accumulazione in N, non ha senso fare limiti finiti (x0 < +inf); come probabilmente sai, però, si fanno i limiti per n->+inf. Perchè?? semplicemente perchè +inf è l'unico punto di accumulazione per N. Basta pensare ad un intorno di +inf come al complementare di un sottoinsieme di N superiormente limitato e ottieni che in ogni intorno di +inf cadono numeri naturali; per cui +inf, in base alla definizione data, è un punto di accumulazione per N.
ciao, ubermensch
L'idea è la seguente: vogliamo calcolare il limite di una funzione in un punto x0 e per fare questo vogliamo andare a valutare la funzione vicino a x0 in modo da poterne studiare l'andamento. A questo punto sorge il problema che per andare a valutare la funzione vicino a x0 devo avere dei punti vicini a x0 in cui sia definita la funzione (altrimenti non la potrei calcolare). Nasce così il concetto di punto di accumulazione: Sia D un sottoinsieme dell'asse reale (più in generale un sottospazio metrico) un punto x0 (non si richiede che x0 appartenga a D e d'altra parte i casi più interessanti sono quando non vi appartiene) è detto di accumulazione per D se per ogni intorno di x0 (più in generale per ogni aperto della topologia indotta dalla metrica contenente x0) cadono punti distinti da x0.
Ehm... accanto alla definizione canonica del liceo ho preferito darti anche quella più generale, che non capirai, ma, spero, servirà ad affascinarti più di quello che già sei, mostrandoti come la "astrusa matematica del liceo" non è nient'altro che un banale esempio di teorie estremamente più generali e belle.
Osservazione:
nel caso di successioni di numeri reali, poichè nessun naturale è di accumulazione in N, non ha senso fare limiti finiti (x0 < +inf); come probabilmente sai, però, si fanno i limiti per n->+inf. Perchè?? semplicemente perchè +inf è l'unico punto di accumulazione per N. Basta pensare ad un intorno di +inf come al complementare di un sottoinsieme di N superiormente limitato e ottieni che in ogni intorno di +inf cadono numeri naturali; per cui +inf, in base alla definizione data, è un punto di accumulazione per N.
ciao, ubermensch
Grazie mille ubermensch!!Veramente...è gia da un paio di giorni che cerco di spiegarmi questo concetto ma in realta non ne afferravo il signifacato!! Mi hai aiutato molto grazie!!!
Come si risolve questo logaritmo?Devo trovarne il dominio...
$y=Log(5log^3 x +2logx-7)$
P.s= i logaritmi dentro le parentesi sono di base$1/2$
è urgente!!
$y=Log(5log^3 x +2logx-7)$
P.s= i logaritmi dentro le parentesi sono di base$1/2$
è urgente!!
Aiutoooooo!!!Mi serve per domani... 
per l'esistenza del logaritmo deve essere
5log^3 x +2logx-7 >0
poni logx = t e ottieni
5t^3 +2t-7 >0
può essere risolta con la regola di ruffini
(t = 1 è una radice)
5log^3 x +2logx-7 >0
poni logx = t e ottieni
5t^3 +2t-7 >0
può essere risolta con la regola di ruffini
(t = 1 è una radice)
Ho risolto con la regola di Ruffini e mi viene: $(t-1)(5t^2+5t+7)>0$ se non ho sbagliato...Ora che faccio??
quando una disequazione è moltiplicativa la si risolve allo stesso modo delle fratte
poni tutto > 0, poi fai il conteggio dei segni e prendi la parte positiva cioè
1) t-1>0 , t>1
2) 5t^2+5t+7 >0 sempre (delta<0, il coefficiente del termine di secondo grado è 5 ed è positivo come il verso della disequazione che è >, tutte le volte che accade questo la disequazione è sempre verificata)
facendo il conteggio dei segni (come una fratta) si vede che prima di 1 la 1) è negativa , la 2) è positiva, + per - da - quindi si ottiene - , quando t>1 la 1) e la 2) sono >0, + per + da + e
quindi la disequazione è verificata per t >1
torniamo alla variabile x:
logx >1 ,ora 1 = log(1/2)
logx > log(1/2) ,essendo la base 1/2 (si deve invertire > con <)si ha
0 < x < 1/2
poni tutto > 0, poi fai il conteggio dei segni e prendi la parte positiva cioè
1) t-1>0 , t>1
2) 5t^2+5t+7 >0 sempre (delta<0, il coefficiente del termine di secondo grado è 5 ed è positivo come il verso della disequazione che è >, tutte le volte che accade questo la disequazione è sempre verificata)
facendo il conteggio dei segni (come una fratta) si vede che prima di 1 la 1) è negativa , la 2) è positiva, + per - da - quindi si ottiene - , quando t>1 la 1) e la 2) sono >0, + per + da + e
quindi la disequazione è verificata per t >1
torniamo alla variabile x:
logx >1 ,ora 1 = log(1/2)
logx > log(1/2) ,essendo la base 1/2 (si deve invertire > con <)si ha
0 < x < 1/2
Allora la disequazione di 2grado non si calcola perchè il delta è negativo giusto?? Poi non capisco bene come si procede...
ho aggiunto sopra dimmi se ti torna
mmhhh...io sono arrivata qui..pongo 1) e2) >0 risolvo e vedo che la 1) mi da t>1 quindi sostituisco alla variabile posta uguale a t e viene $logx>1$ e da cio viene $x<1/2$ fino qui tutto ok....successivamente poi,perdonami, sarà l'ora, ma non capisco il meccanismo!!
intanto devi scrivere 0< x < 1/2 perchè log x per essere definito deve avere x >0
la prima parte è quello che hai sempre fatto per risolvere le disequazioni del tipo
(t-1)/(t^2 -4) >0
ovvero poni
1) t-1>0
2)t^2-4>0
le risolvi e poi fai il conteggio dei segni e prendi la parte positiva...
in questo caso
(t-1)(5t^2+5t+7)>0
devi fare la stessa cosa...
la prima parte è quello che hai sempre fatto per risolvere le disequazioni del tipo
(t-1)/(t^2 -4) >0
ovvero poni
1) t-1>0
2)t^2-4>0
le risolvi e poi fai il conteggio dei segni e prendi la parte positiva...
in questo caso
(t-1)(5t^2+5t+7)>0
devi fare la stessa cosa...
Okay forse ora ci sono però mi servono due risposte: quando la radice del delta è negativa allora non ci sono soluzioni giusto?E poi visto l'argomento del Log è formato da un argomento a sua volta composto da logaritmi, si cerca il dominio della prima ponendo argomento maggiore di zero, notando che risulta x<1/2 e il dominio della seconda (argomento) cioè x>0.. si rappresenta ed è fatta.Giusto?
per risolvere
a x^2 + bx + c >0
guardi il delta, se è negativo come in questo caso, quindi non ci sonop soluzioni, devi guardare la a,
se è positiva la disequazione è sempre verificata
(nel nostro caso a=5), se invece la a è negativa la disequazione non è mai verificata
per la seconda parte, se ho capito bene, mi sembra giusto
comunque ti consiglio di ripassare sul libro di
algebra le disequazioni...
a x^2 + bx + c >0
guardi il delta, se è negativo come in questo caso, quindi non ci sonop soluzioni, devi guardare la a,
se è positiva la disequazione è sempre verificata
(nel nostro caso a=5), se invece la a è negativa la disequazione non è mai verificata
per la seconda parte, se ho capito bene, mi sembra giusto
comunque ti consiglio di ripassare sul libro di
algebra le disequazioni...
infatti...l'ho pensato anch'io!!Mi stupisco che non ci sia arrivata, non è poi così difficile,in ogni caso un po di ripasso ci vuole per rinfrescare un po i concetti. Cmq...ora vado grazie del tuo generoso e pronto aiuto!!
Ps. Abbiamo lo stesso nome!!
Ciao
Ps. Abbiamo lo stesso nome!!
Ciao
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