[Limiti/Diseq] Mi sa che mi manca qualche passaggio...

[Rahzel]

Ciao a tutti, sono nuovo!

Ho letto questa formula sul libro, ma non riesco a capire i passaggi intermedi.

$ \frac{1}{(x-3)^n} > M$ per $MinR$ e $x->3^+$

Risulta

$3 < x < 3 + M^{1/n}$ se $M > 0$

Ecco, io non capisco come si arriva a quell' x compreso tra $3$ e $3+M^{1/n}$ a partire dal semplice $frac{1}{(x-3)^n}$ !

Chiedo gentilmente se qualcuno potrebbe indicarmi la via

Grazie!

[_prime_number]

Allora, $x\to 3^+$, che significa che $x>3$ (perchè arriva da destra sulla retta numerica). Questo spiega la prima metà della disuguaglianza. Per la seconda si fa così:
$1/(x-3)^n >M$ (elevo alla $1/n$ entrambi i membri, dato che sono entrambi positivi)
$1/(x-3)> M^{1/n}$ (faccio l'inverso di entrambi, sempre perché sono positivi. Ricorda di cambiare il segno di dis.)
$x-3 < M^{-1/n}\to x< 3+M^{-1/n}$

Paola

[Rahzel]

Non so come ringraziarti

Tutto chiarissimo!

EDIT: Uhm mi sono appena accorto che nella tua risoluzione viene $< 3 + M^{-1/n}$, mentre sul libro viene $< 3+M^{1/n}$, senza segno negativo all'esponente. Eppure il tuo ragionamento mi sembra impeccabile. Puo' essere un errore?

[_prime_number]

Direi proprio di sì. Infatti se consideri $M^{-1/n}$, esso sarà molto piccolo più $M$ cresce. $M^{1/n}$, invece, cresce al crescere di $M$. Dunque, quando $x\to 3^{+}$, la stima
$3 mentre $3
Paola