Limiti (verso l'esame di stato)

[Pigreco93]

Dopo aver dato la definizione corretta di $lim_(x->c) f(x)= l $, dimostra che $lim_(x->0) (ln(1+x)+ ln (1-x))/(cosx-1) = 2$

Potete aiutarmi magari anche passaggio per passaggio, non so da dove iniziare

[giammaria2]

Per la definizione del limite guarda sul tuo libro ma usarla per il calcolo del limite successivo "mi fa tremar le vene e i polsi". Invece suggerirei di calcolarlo iniziando con
$=lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/x^2*x^2/(cosx-1)$
Come continueresti?

[Pigreco93]

"giammaria":Per la definizione del limite guarda sul tuo libro ma usarla per il calcolo del limite successivo "mi fa tremar le vene e i polsi". Invece suggerirei di calcolarlo iniziando con
$=lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/x^2*x^2/(cosx-1)$
Come continueresti?

sono ancora bloccato

[giammaria2]

Ma dai! Almeno per la seconda frazione DEVI saper dire il limite. Nelle prima usa le proprietà dei logaritmi; per entrambe, ripassa i limiti notevoli.

[Pigreco93]

"Pigreco93":[quote="giammaria"]Per la definizione del limite guarda sul tuo libro ma usarla per il calcolo del limite successivo "mi fa tremar le vene e i polsi". Invece suggerirei di calcolarlo iniziando con
$=lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/x^2*x^2/(cosx-1)$
Come continueresti?

sono ancora bloccato [/quote]
$=lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/x^2*x^2/(cosx-1)$
riguardo la seconda $x^2/(cosx-1)$ non è un limite notevole visto che c'è $cosx-1$ e non $1-cosx$

[Pigreco93]

$=lim_(x->0)(ln(1+x)+ln(1-x))/x^2*x^2/(cosx-1)$

$=lim_(x->0)(ln(1-x^2))/x^2*x^2/(cosx-1)$

giusto?

[minomic]

Sì ma $$\cos x - 1 = -(1-\cos x)$$ vero??

[Pigreco93]

"minomic":Sì ma $$\cos x - 1 = -(1-\cos x)$$ vero??

si ok ma quando si fa questo passaggio il meno lo si mette solo a $cosx-1$ o a tutta la frazione?

[minomic]

Tu sai che il limite notevole è$$
\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos x}{x^{2}}}=\frac{1}{2}
$$allora possiamo dire che$$
\lim_{x \to 0}{\frac{x^2}{\cos x -1}}=\lim_{x \to 0}{\frac{1}{\frac{-(1-\cos x)}{x^2}}}=-2.
$$

[Pigreco93]

ok perfetto quindi risulta così

$=lim_(x->0)(ln(1-x^2))/x^2*(-2)$ dopo di che?

[minomic]

Adesso devi prendere un altro limite notevole ed adattarlo, in particolare$$
\lim_{x \to 0}{\frac{\log(1+x)}{x}} = 1
$$quindi...

[Pigreco93]

$lim_(x->0)(ln(1-x^2))/x^2*(-2)$

$(ln(1-x^2))/x^2$ posso cambiarlo così?

$(ln -(1+x^2))/x^2$

[minomic]

L'ultima che hai scritto non ha senso (errore di battitura??)
Se mai lo puoi vedere come$$
\frac{\ln[1+(-x^2)]}{x^2}
$$A questo punto o utilizzi un cambio di variabile $x^2 \rightarrow t$ oppure lo fai a mente perchè se $x \to 0$ anche $x^2 \to 0$ e ti riconduci al limite notevole.

[Pigreco93]

"minomic":L'ultima che hai scritto non ha senso (errore di battitura??)
Se mai lo puoi vedere come$$
\frac{\ln[1+(-x^2)]}{x^2}
$$A questo punto o utilizzi un cambio di variabile $x^2 \rightarrow t$ oppure lo fai a mente perchè se $x \to 0$ anche $x^2 \to 0$ e ti riconduci al limite notevole.

quindi vale -1?

[minomic]

Giusto, bravo!